具体数学-第12课（数论进阶与组合数入门）

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具体数学-第12课 - WeiYang Blog
这节课内容太多了，再加上感冒身体不舒服，下面的定理就不一一证明了，大家可以自行练习。以后有空我会补上的！

例题1

首先接着上节课同余继续讲，在第三章例题2中，我们遗留了一个问题：对于如下序列
0\bmod m,n\bmod m,2n\bmod m, \ldots ,(m - 1)n\bmod m
它的值就是
0,d,2d, \ldots ,(m/d - 1)d
的某个排列，并且重复了 d 次。其中 d = gcd(m, n)

首先我们有如下同余式：
jn \equiv kn(\bmod m) \Leftrightarrow j(n/d) \equiv k(n/d)(\bmod m/d)
这就可以看出该序列的确是重复出现了 d 次，那么剩下的问题就是证明这 m/d 个数恰好就是
\{ 0,d,2d, \ldots ,m - d\}
的某个排列。
令 m = m'd,n = n'd ，所以有
kn\bmod m = d(kn'\bmod m')
所以我们只考虑 m \bot n 的情形，在此情形下，我们可以得到
jn \equiv kn(\bmod m) \Leftrightarrow j \equiv k(\bmod m)
由此可以看出，这 m-1 个数一定就是
\{ 0,1,2, \ldots ,m - 1\}
至此得证。

下面介绍几个著名的数论定理。

费马最后定理

对于所有的正整数 a,b,c,n>2 ，有
{a^n} + {b^n} \ne {c^n}

费马小定理

如果 n \bot p ，那么有
{n^{p - 1}} \equiv 1(\bmod p)

证明也很好证。

之前证过了，序列
n\bmod p,2n\bmod p, \ldots ,(p - 1)n\bmod p
结果就是
1,2, \ldots ,p-1
的某个排列，所以有
n \cdot (2n) \cdot \ldots \cdot ((p - 1)n) \equiv (p - 1)!
所以
(p - 1)!{n^{p - 1}} \equiv (p - 1)!(\bmod p)
所以
{n^{p - 1}} \equiv 1(\bmod p)

欧拉函数

定义 \varphi (m) 为小于 m 且与其互素的正整数个数。

所以我们有欧拉定理
{n^{\varphi (m)}} \equiv 1(\bmod m)
其中 n \bot m ，可以发现，当 m 是素数时，欧拉定理就是费马小定理，所以欧拉定理是费马小定理的推广形式。

欧拉定理有很多有趣的性质，这里就不一一介绍了，详情见博客地址。

莫比乌斯函数

定义莫比乌斯函数 \mu (m) 为
\sum\limits_{d|m} {\mu (d)} = [m = 1]

这个定义看起来很奇怪是不是？其实这是一个递归定义，可以递归地计算得到所有的值。

这个函数有什么用呢？主要用来进行莫比乌斯反演：
g(m) = \sum\limits_{d|m} {f(d)} \Leftrightarrow f(m) = \sum\limits_{d|m} {\mu (d)g(\frac{m}{d})}

详细的性质及应用也不介绍了，给大家推荐一个牛逼的博客博客地址，我当时学ACM的时候这部分都是看着他的学的。

组合数入门

定义组合数 \left( {\begin{array}{c}n\\k\end{array}} \right) 为从 n 个物品中取出 k 个物品的方法数，具体计算为
\left( {\begin{array}{c}n\\k\end{array}} \right) = \frac{ {n(n - 1) \ldots (n - k + 1)}}{ {k(k - 1) \ldots 1}}

推广到实数领域，定义
\left( {\begin{array}{c}r\\k\end{array}} \right) = \left\{ {\begin{array}{c}{\frac{ {r(r - 1) \ldots (r - k + 1)}}{ {k(k - 1) \ldots 1}} = \frac{ { {r^{\underline{k}}}}}{ {k!}},k \ge 0}\\{0,k < 0}\end{array}} \right.

下面介绍一些组合数性质。

性质1

\left( {\begin{array}{c}n\\k\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c}n\\{n - k}\end{array}} \right),n,k \in \mathbb{Z},n \ge 0

这里为什么要限定 n \ge 0 呢？举个例子，如果 n = -1 ，那么有

\left( {\begin{array}{c}{ - 1}\\k\end{array}} \right) \ne \left( {\begin{array}{c}{ - 1}\\{ - 1 - k}\end{array}} \right)

因为左边等于 {( - 1)^k} ，而右边等于 {( - 1)^{-1-k}} 。

性质2

\left( {\begin{array}{c}r\\k\end{array}} \right) = \frac{r}{k}\left( {\begin{array}{c}{r - 1}\\{k - 1}\end{array}} \right)

性质3

(r - k)\left( {\begin{array}{c}r\\k\end{array}} \right) = r\left( {\begin{array}{c}{r - 1}\\k\end{array}} \right)

性质4

\left( {\begin{array}{c}r\\k\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c}{r - 1}\\k\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{c}{r - 1}\\{k - 1}\end{array}} \right)

这条性质可以通过性质3和性质4两边分别相加得到。

性质5

\sum\limits_{k \le n} {\left( {\begin{array}{c}{r + k}\\k\end{array}} \right)} = \left( {\begin{array}{c}{r + n + 1}\\n\end{array}} \right)

性质6

\sum\limits_{0 \le k \le n} {\left( {\begin{array}{c}k\\m\end{array}} \right)} = \left( {\begin{array}{c}{n + 1}\\{m + 1}\end{array}} \right)

性质7

微分形式：

\Delta \left( {\left( {\begin{array}{c}x\\m\end{array}} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{c}{x + 1}\\m\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{c}x\\m\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c}x\\{m - 1}\end{array}} \right)

\sum {\left( {\begin{array}{c}x\\m\end{array}} \right)\delta x = } \left( {\begin{array}{c}x\\{m + 1}\end{array}} \right) + C

二项式系数

{(x + y)^r} = \sum\limits_k {\left( {\begin{array}{c}r\\k\end{array}} \right)} {x^k}{y^{r - k}},r \in \mathbb{Z}

二项式系数也有很多有趣的性质。

{2^n} = \left( {\begin{array}{c}n\\0\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{c}n\\1\end{array}} \right) + \cdots + \left( {\begin{array}{c}n\\n\end{array}} \right)

{0^n} = \left( {\begin{array}{c}n\\0\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{c}n\\1\end{array}} \right) + \cdots + {( - 1)^n}\left( {\begin{array}{c}n\\n\end{array}} \right)

即奇数项系数和等于偶数项系数和。

推广到实数域：

{(1 + z)^r} = \sum\limits_k {\left( {\begin{array}{c}r\\k\end{array}} \right){z^k}} ,\left| z \right| < 1,r \in \mathbb{R}

可以通过泰勒展开证明。

posted on 2020-01-17 01:03  godweiyang  阅读(184)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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