K-摇臂赌博机算法与实现

问题描述

有 个赌博机，每个赌博机有一定概率 吐出硬币，但是我们不知道这个概率是多少，每个赌博机吐出的硬币价值 也是不一样的，现在有 次机会选择赌博机，怎么选才能使得到的硬币总价值最大？

在下面的不同算法实现中，统一设定

可以计算出，这种情况下：

1. 如果每次都选期望价值最高的4号赌博机，可以获得的最高总价值为2800000。
2. 如果每次都选期望价值最低的2号赌博机，可以获得的最低总价值为300000。
3. 如果随机选取赌博机，可以获得的期望总价值为1540000。

探索与利用算法

原理

“仅探索”（exploration-only）算法就是将机会平均分配给每一个赌博机，随机挑选赌博机。

“仅利用”（exploitation-only）算法就是选取当前平均价值最高的那台赌博机。

但是由于尝试的次数有限，所以要在探索与利用之间进行权衡，这也是强化学习面临的一大问题：探索-利用窘境（Exploration-Exploitation dilemma）。

实现代码

        #!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import random
import numpy as np

def R(k, P, V):
    if random.random() < P[k]:
        return V[k]
    else:
        return 0

def exploration_bandit(K, P, V, R, T):
    r = 0
    for t in range(T):
        k = random.randint(0, K - 1)
        v = R(k, P, V)
        r += v
    return r

def main():
    K = 5
    P = np.array([0.1, 0.9, 0.3, 0.2, 0.7])
    V = np.array([5, 3, 1, 7, 4])
    T = 1000000
    print exploration_bandit(K, P, V, R, T)

if __name__ == '__main__':
    main()
      

代码运行结果为：获得总价值1538893。这里只实现了仅探索方法，结果和预估的情况3还是比较接近的。

贪心算法

原理

这个方法原理就是每次以 的概率来探索，即以均匀概率随机挑选一个摇臂。以 的概率利用，即挑选当前平均价值最高的那个摇臂。

剩下的问题就是如何维护平均价值最高的摇臂了，对于做过算法竞赛的人来说，这都是小菜一碟。

用 记录第 个摇臂在第 次尝试之后的平均价值。那么最高效的算法就是根据 来直接推导出，如果第 次尝试获得的价值为 ，那么 可以更新为：

实现代码

        #!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import random
import numpy as np

def R(k, P, V):
    if random.random() < P[k]:
        return V[k]
    else:
        return 0

def eplison_bandit(K, P, V, R, T):
    r = 0
    Q = np.zeros(K)
    count = np.zeros(K)
    for t in range(T):
        eplison = 1. / np.sqrt(t + 1)
        if random.random() < eplison:
            k = random.randint(0, K - 1)
        else:
            k = np.argmax(Q)
        v = R(k, P, V)
        r += v
        Q[k] += (v - Q[k]) / (count[k] + 1)
        count[k] += 1
    return r

def main():
    K = 5
    P = np.array([0.1, 0.9, 0.3, 0.2, 0.7])
    V = np.array([5, 3, 1, 7, 4])
    T = 1000000
    print eplison_bandit(K, P, V, R, T)

if __name__ == '__main__':
    main()
      

一般取值为较小值0.1或者0.01，当然也可以随着尝试次数增加而减小，如果尝试次数为 ，那么设为 即可。

代码运行结果为：获得总价值2795546。结果和情况1还是很接近的，说明这种方法基本能达到最优。

Softmax算法

原理

上面的方法是以 的概率来进行探索利用抉择，而Softmax方法则是根据Boltzmann分布

来进行抉择。其中 被称作“温度”， 越小的话平均价值越高的摇臂被选取的概率越高， 趋向于无穷大的话选取概率就很均匀了，这时候就变成了仅探索。

实现代码

        #!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import random
import numpy as np

def softmax(x):
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

def R(k, P, V):
    if random.random() < P[k]:
        return V[k]
    else:
        return 0

def eplison_bandit(K, P, V, R, T, tau=0.1):
    r = 0
    Q = np.zeros(K)
    count = np.zeros(K)
    for t in range(T):
        p = softmax(Q / tau)
        rand = random.random()
        total = 0.0
        for i in range(K):
            total += p[i]
            if total >= rand:
                k = i
                break
        v = R(k, P, V)
        r += v
        Q[k] += (v - Q[k]) / (count[k] + 1)
        count[k] += 1
    return r

def main():
    K = 5
    P = np.array([0.1, 0.9, 0.3, 0.2, 0.7])
    V = np.array([5, 3, 1, 7, 4])
    T = 1000000
    tau = 0.1
    print eplison_bandit(K, P, V, R, T, tau)

if __name__ == '__main__':
    main()
      

代码运行结果为： 时，获得总价值1397795。 时，获得总价值2798372。当然随机性很大，每次运行结果都会不同。

而 贪心算法和Softmax算法谁更好，取决于具体应用，这里也没有定论。