学习笔记/String：Z-Box 笔记

BASIC INFORMATION

TOPIC: \(\small\text{Z--Box}\) 算法。

REFERENCE: 基本说明和常用符号参考字符串系列目录&&说明。

UPDATE: 暂无

\(\text{Z}\) 算法，又称 \(\text{Z-Box}\) 算法，国内一般称为扩展 \(\text{KMP}\)。

其实我也没搞清楚它有什么别的算法做不到的功能，就当成增量法的思维练习吧（怎么又是你）。

对自身的 \(\text{Z-Box}\) 算法

\(\text{Z-Box}\) 算法，用于求出原串 \(s\) 与其从字符 \(s[i]\) 开始的后缀的最长公共前缀的长度 \(z[]\)（也称 \(\text{Z}\) 函数）。

给出形式化定义：即 \(z[i]=\operatorname{lcp}(s,s[i:])\)，特别地，\(z[1]=0\)。

Question: 请写出 \(s=\texttt{abacaba}\) 的 \(z[]\)（\(\text{Z}\) 函数）。

Answer: \(z[]=\{0,0,1,0,3,0,1\}\)。

同样先看朴素做法：枚举 \(i\)，暴力往后匹配即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)，给出实现：

// force.cpp
int n,z[N];
char s[N];
z[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
	while(s[1+z[i]]==s[i+z[i]]) z[i]++;
}

考虑用增量法求出 \(z[]\)，这一次我们可以利用的信息是 \(\operatorname{lcp}\) 带来的相同，类似 \(\text{Manacher}\)，维护一个最大的匹配过的右端点 \(r\) 以及该右端点对应的对应的后缀的起始点 \(o\)，接着考虑当 \(i\le r\) 时如何利用已知信息。

由 \(z[]\) 的定义有 \(s[:z[o]]=s[o:r]\)，又 \(i \in [o,r]\)，所以 \(s[i:r]=s[i-o+1:z[o]]=s[i-o+1:r-o+1]\)，那就是说 \(s[i:]\) 的前 \(r-i+1\) 位与 \(s[i-o+1:]\) 的前 \(r-i+1\) 位相等，于是 \(z[i]\) 转换为 \(z[i-o+1]\)，那么 \(z[i]\gets\min(z[i-o+1],r-i+1)\)。

\(\bm{p.s.}\) 与 \(r-i+1\) 取 \(\min\) 则是因为我们只知道它们前 \(r-i+1\) 位相等，但 \(z[i-o+1]\) 可能更多，但是第 \(r-i+1\) 位后面的我们是只能暴力判断的，因为我们没有匹配过 \(r\) 后面，所以要取 \(\min\)。

给出实现：

int n,z[N];
char s[N];
void Z_Box(){
	z[1]=0;
	for(int i=2,o=0,r=0;i<=n;i++){
		z[i]=(i>r?0:min(z[i-o+1],r-i+1));
		while(s[1+z[i]]==s[i+z[i]]) z[i]++;
		if(i+z[i]-1>r) o=i,r=i+z[i]-1;
	}
}

如果你对 \(\text{Manacher}\) 很熟悉的话，学习 \(\text{Z-Box}\) 应该如鱼得水，那么我们就基本把 \(\text{Z-Box}\) 解决了。

两个串之间的 \(\text{Z-Box}\) 算法

咕咕咕。