[搬砖]无聊的时候研究下方程1/a±1/b=1/c的整数解的个数(修正版)

方程1/a±1/b=1/c的整数解的个数

 

最近一直在想方程1/a1+1/a2+...+1/an=1的整数解的个数,限于智力原因无果,退而求其次思考更基础的1/a±1/b=1/c问题,没想到居然成功的得到了不错的结果.

上一次脑残 手残了,这次重来!

先考虑方程1/a+1/b=1/c

 

通分得 ac+bc=ab

==================以下是修正版====================

移项得

a(b-c)=bc

b(a-c)=ac

两式相乘得ab(c-a)(c-b)=abc^2

约分得

(c-a)(c-b)=c^2

因为a,b,c均为整数

所以(a-c),(b-c)均为c^2的因子

所以解的个数为c^2因子个数

独立的解的个数为(c^2因子个数+1)/2  (注意a=b=2c之被计算了一次)

=====================这是华丽的分割线=================

对于方程1/a-1/b=1/c

=================以下是修正版===============

同上可得

bc-ac=ab

 

b(c-a)=ac

a(b+c)=bc

相乘得

ab(b+c)(c-a)=ab*c^2

约分得

(b+c)(c-a)=c^2

好吧 和上面又一样了

答案是c^2的因子个数,因为不存在独立解的问题

======================华丽的分割线==================

至此问题解决,如有纰漏,欢迎指出

本来想把这个问题推广一下的

但是限于智商问题

碰到类似bc/(b+c)-d=x (b,c为需要求解的量,d为已知量,x为任意整数)

完全没有思路所以...........你懂的

如有更好的方法欢迎交流