二分查找及其应用
概述
二分查找算法是一种效率极高的算法，也是为数不多时间复杂度在O（logn）量级的算法。算法思想并不难理解，但是某些细节却十分复杂，因而本文尝试从一个通用框架入手，通过对不同细节的填补，生成在三种情况下适用的不同框架。同时后边给了一些二分查找的里边，便于读者练习。
框架与说明
通用二分查找框架
框架处理过程：
1. 初始化：为left和right赋值
2. 循环退出条件
3. 比较中值和目标值关系，分情况处理
1. 相等
2. 小于
3. 大于
代码框架如下：
int binarySearch(int [] nums,int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...){
//防止溢出等同于mid = (left +right)/2
int mid = left + (right - left)/2;
if(nums[mid] == target) {
...
}else if (nums[mid] < target) {
left = ...
}else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...
}
分析上边的框架，可能有两个奇怪的地方：
第一个是mid的计算方法比较奇怪
第二个整个if判断过程中没有
else分支
其实这两个问题也是二分查找的两个重要点。
针对第一点mid如果使用传统的写法mid = (left + right)/2确实比较容易理解，但left和right直接相加可能会导致上溢出的风险，因而需要使用mid = left + (right - left)/2。
第二个问题可能更多是一个技巧，因为二分查找思想可能很容易理解，但是细节却比较难以捉摸，因而在使用二分查找时要把所有情况用else if 写清楚，而不要出现else，这样可以清晰的展现出所有分支的细节，便于理解和排错。
同时，在整个模板中，我们可以看到有好多省略号...标记，这个是容易出现细节问题的地方，也是我们在使用二分查找需要尤为注意的问题，后边会结合一些简单实例，来说明一下这些细节会有那些变化。
基本二分查找
public int binarySearch(int[] nums, int target) {
// 初始化，细节一：right此处复制为nums.length - 1，
//相当于搜索区间为[left,righty]
int left = 0, right = nums.length - 1;
// 循环退出条件，细节二：由于细节一的原因，此处要使用left<=right
//，从而保证能够搜索到right的位置
while (left <= right) {
// 计算中值
int mid = left + (right - left) / 2;
// 查找到目标结果直接返回对应索引的位置
if (nums[mid] == target) {
return mid;
} else if (nums[mid] < target) {
// 细节三：因为已经验证过mid位置，因此需要从[mid+1，right]区间开始查找
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 细节四：原因同细节三
right = mid - 1;
}
}
// 区间内所有值都已搜索完毕，直接返回-1
return -1;
}
基于初始模板，我们可以很快写出基本的二分查找算法，但是针对实现过程中的一些细节，我们需要做一些说明：
- 为什么 while 循环的条件中是 <=,而不是 < ?
首先由于我们初始化的时候选择的右边界就是right = nums.length -1，也即右边界是可以被访问到的，所以我们在终止条件判断的时候需要加上这个等号，搜寻的时候，搜索区间为[left,right]一个闭区间。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中,区别是:前者相当于两端都闭区间 [left, right],后者相当于左闭右开区间 [left, right),因为索引大小为nums.length 是越界的。
- 为什么 left = mid + 1,right = mid - 1?我看有的代码是 right = mid 或者left = mid,没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断?
这个也是二分查找的重要细节，刚才我们说了此处的搜索区间是[left,right]，因此当判断mid之后，我们需要将搜索区间锁定在[left,mid-1]、[mid+1,right]这两个区间中。后一种用法可能会在左边界查找、右边界查找中会用到。
左边界查找
代码实现：
public int leftBound(int[] nums, int target) {
// 细节1：right赋值为length，意味着搜索区间范围左闭右开
int left = 0, right = nums.length;
// 细节2
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
// 细节3
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 细节4
right = mid;
}
}
// 细节5
return nums[left] == target ? left : -1;
}
左边界查找较之与基本二分查找多了几个细节点不同。
- 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?
答:用相同的方法分析,因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。while(left < right) 终止的条件是 left == right,此时搜索区间 [left, left) 为空,
所以可以正确终止。
- 为何返回left？
答：因为搜索退出时一定是left==right因此即使返回的是right也影响不大。
右边界查找
代码实现：
public int rightBound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
//细节1
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
//细节2
return nums[left - 1] == target ? left - 1 : -1;
}
这个相比左边界查找可能有两个细节地方改变：
- 中点值和目标值相同时，不直接返回而是要通过
left = mid + 1将查找区间向右逼近，进而才能查找最右侧的值 - 返回值是
left -1，主要是因为，在找到目标值之后做了一个left = mid +1 操作，从而实际我们想要的mid的值为left -1。
典型例题
1. 寻找旋转排序数组中的最小值
基本思路：
在二分查找的过程中比较最左侧和最右侧值的大小，如果右侧小，则搜索【mid+1,right】区间，同时要注意一种情况，就是mid隔开了最小值，因此需要判断mid位置元素是否是最小的元素，如果不是将搜索区间改成【left，mid-1】。 如果左侧小则直接搜索【left，mid-1】
代码实现：
public int findMin(int[] nums) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
int min = nums[left];
while (left <= right) {
int mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (nums[mid] < min) {
min = nums[mid];
}
if (nums[left] < nums[right]) {
right = mid - 1;
} else if (nums[left] > nums[right]) {
// 证明最小值在mid的前面
if (mid > left && nums[mid] > nums[mid - 1]) {
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
} else if (nums[left] == nums[right]) {
return min;
}
}
return min;
总结
通过对上边三种二分查找框架的掌握，大部分二分查找问题都可以解决，还是那句话，二分查找本身思想比较简单，但是细节很折磨人，但是针对某个问题，逐个分析其细节，最后大部分问题应该还是可以比较好的解决的。
