平滑的目的也是正则化的目的之一，它是针对参数w而言，本质上就是要使得w的变化不要那么剧烈，有如下数学模型（假设最小化J）：
左侧是一个典型的线性回归模型，(xi，yi)就是实际的观测值，w就是估计的参数，右侧就是一个正则化项。可以直观的感受到，正则化项实际上起到了限制参数w的“变化程度或变化幅值”的作用，具体来说，它可以令w的任何一个分量相比较于剩余分量变化程度保持一致，不至于出现变化特别明显的分量。直接的作用就是防止模型“过拟合”，提高了模型的泛化性能。关于这一点，具体请见http://blog.csdn.net/wsj998689aa/article/details/39547771
拉普拉斯平滑应用在正则化上的时候，往往被称做“拉普拉斯惩罚”，惩罚的参数是w。
背景：机器学习中，大部分算法直接将图像（假设为M*N）按行或者列拉成向量，这样肯定会损失结构化信息。结构化信息是指，一个像素本来和它周围8个像素都有关系，你直接给拉成向量了，那么这种关系就直接被你给毁掉了，这就叫空间结构信息。这种信息属于先验信息，NFL定理说的很清楚：能够尽可能利用先验信息的学习算法才是好算法。看来，空间结构信息的破坏，会降低算法的”品味“。此时，拉普拉斯惩罚会帮助找回品味。一幅图像拉成向量x（M*N维），如果我们要通过拉普拉斯惩罚，补偿x上失去的结构信息。很简单，如下式：
那个乘法是Kronecke积，相当于将乘号右边的每个元素替换成为左边矩阵数乘对应元素，如果A是一个 m x n 的矩阵，而B是一个 p x q 的矩阵，克罗内克积则是一个 mp x nq 的矩阵。
上述公式实际上起到的效果是，求一个矩阵中每个元素的水平方向和垂直方向的二阶差分之和，这个矩阵在这里可以被看错参数w的矩阵形式（按列reshape）。进一步，如果对一个线性回归模型加上拉普拉斯惩罚，模型就会变为如下形式：
拉普拉斯惩罚使得模型更加平滑，比简单的2范数（岭回归）要好，因为它考虑了空间结构信息。常被用于PCA，LDA，LPP，NPE等子空间学习算法的改造上面，一般会使算法性能得到提升。
参考文献：Learning a Spatially Smooth Subspace for Face Recognition
原文：https://blog.csdn.net/wsj998689aa/article/details/40303561
