logistic逻辑回归、最优化算法

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提取码：v8fo

#logistic逻辑回归、最优化算法
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下面主要说下
sigmoid函数和logistic回归分类器
最优化理论初步
梯度下降最优化算法
数据中的缺失项处理
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优点：计算代价不高，易于理解和实现。
缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高。
适用数据类型：数值型和标称型数据。
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logistic逻辑回归主要利用sigmoid函数
sigmoid函数的输入记为z，由下面公式得出：
    $z=w_0*x_0+w_1*x_1+w_2*x_2+...+w_n*x_n$
如果采用向量的写法，上述公式可以写成z=w^T*x,它表示将这两个数值向量对应元素相乘然后全部加起来
即得到z值。其中的向量x是分类器的输入数据，向量w也就是我们要找的最佳参数,从而使分类尽可能地精确

梯度上升法（一种最优化算法）：
    公式：
    梯度上升法基于的思想是：要找某函数的最大值，最好的方法就是沿着该函数的梯度方向探寻。
你经常听到的应该是梯度下降算法，它与这里的梯度上升算法是一样的，只是公式中的加法变成减法。
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from numpy import *

def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        #dataMat.append( [1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])] )
        dataMat.append( [float(lineArr[0]), float(lineArr[1])] )
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))    #exp() 以e为底的指数函数
 
#梯度上升
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    #转换为Numpy矩阵数据类型
    datMatrix = mat(dataMatIn)
    labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m,n = shape(datMatrix)
    alpha = 0.001   #移动步长
    maxCycles = 500 #迭代次数
    weights = ones((n, 1))  #权重矩阵形状为3行 1列 值为1.
    #print(weights)
    for k in range(maxCycles):
        '''
        #矩阵运算。变量h不是一个数而是一个列向量，列向量的元素的元素个数等于样本个数，这里是100.
        对应的，运算datMatrix * weights 代表不止一次乘积计算，事实上包含了300的乘积。
        '''
        h = sigmoid(datMatrix * weights)
        error = (labelMat -h)
        weights = weights + alpha * datMatrix.transpose() * error
    return weights

#分析数据：画出决策边界
def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0]
    xcord1=[]; ycord1=[]
    xcord2=[]; ycord2=[]
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i]) == 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marked='a')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x=arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x/weights[2])
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2')
    plt.show()

#随机梯度上升
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    weights = ones(n)   #1行，n列，值为1. 矩阵
    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error = classLabels[i] - h
        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights

#改进的随机梯度上升算法
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    m,n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)
    for j in range(numIter):
        dataIndex=list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01        #步长越来越小
            #随机选取样本来更新回归系数。将减少周期性的波动
            randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error = classLabels[randIndex] - h
            weights = weights +alpha*error*dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights

#示例：从疝气病症预测病马的死亡率
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本节将使用logistic回归来预测患有疝病的马的存活问题，数据包含368个样本和28个特征。
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def classifyVector(inX, weights):
    prob = sigmoid(sum(inX*weights))
    if prob > 0.5: return 1.0
    else: return 0.0

def colicTest():
    frTrain = open('horseColicTraining.txt')
    frTest = open('horseColicTest.txt')
    trainingSet=[]; trainingLabels=[]
    for line in frTrain.readlines():
        currLine=line.strip().split('\t')
        lineArr=[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr)
        trainingLabels.append(float(currLine[21]))
    trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 500)
    errorCount = 0; numTestVec = 0.0
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec += 1.0
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr = []
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights)) != int(currLine[21]):
            errorCount += 1
    errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
    print ("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
    return errorRate

def muliTest():
    numTests = 10; errorSum = 0.0
    for k in range(numTests):
        errorSum += colicTest()
    print("after %d iterations the average error rate is: \
        %f" % (numTests, errorSum/float(numTests)))


if __name__ == '__main__':
    '''
    dataArr,labelMat=loadDataSet()
    ret=gradAscent(dataArr, labelMat)
    print(ret)
    '''
    #从疝气病预测病马的死亡率
    muliTest()


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小结：
Logistics回归的目的是寻找一个非线性函数Sigmoid的最佳拟合参数，求解过程可以由最优化算法完成。
在最优化算法中最常用的就是梯度上升算法，而梯度上升算法又可以简化为随机梯度上升算法。
随机梯度上升算法和梯度上升算法的效果相当，但占用更少的计算资源。此外，随机梯度上升是一个在线算法，
它可以在新数据到来时就完成参数更新，而不需要重新读取整个数据集来进行批处理运算。
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