index 数据结构与算法
二叉树
二叉树具有五种基本形态：
空二叉树、只有一个根节点、根结点只有左子树、根结点只有右子树、根节点既有左子树又有右子树
特殊二叉树：
- 斜树 斜树一定要是斜的，但是往哪斜还是有讲究。所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树；所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树
- 满二叉树 在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。
- 完全二叉树 其所有结点与同样深度的满二叉树，它们按层序编号相同的结点，是一一对应的。
二叉树的性质
二叉树有一些需要理解并记住的特性，以便我们更好的使用它。
- 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1）
- 深度为k的二叉树至多有2^k -1个结点（k>=1）
- 对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数位n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度为log_2 n +1
- 如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n）
二叉树的存储结构
顺序存储结构
前面谈到树的存储结构，并且谈到顺序存储对树这种一对多的关系结构实现起来比较困难。但是二叉树是一种特殊的树。
由于它的特殊性，使得用顺序存储结构也可以实现。
二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，
比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等。
先来看看完全二叉树的顺序存储，一颗完全二叉树...
A
B C
D E F G
H I J
将这颗二叉树存入数组中，相应的下标对应其同样的位置，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C D E F G H I J
当然对于一般的二叉树，尽管层序编号不能反映逻辑关系，但是可以将其按完全二叉树编号，只不过，把不存在的结点设置为"^"而已。
A
B C
^ E ^ G
^ ^ J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C ^ E ^ G ^ ^ J
虽然可以表示，但会有空间的浪费，对于数据比较多的树来说，树的顺序存储结构一般只用于构建完全二叉树
链式存储结构
既然顺序存储适用性不强，我们就要考虑链式存储结构。二叉树，每个结点最多有两个孩子，所以它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，
我们称这样的链表叫做二叉链表。
typedef struct BiTNode
{
//结点数据
TElemType data;
//左右孩子指针
struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;
就如同树的存储结构中讨论的一样，如果有需要，还可以再增加一个指向双亲的指针域，那样就称之为三叉链表。由于与树的存储结构类似，这里就不详述了。
遍历二叉树
二叉树的遍历方式可以很多，如果我们限制了 从左到右二的 习惯方式，那么主要分为四种：
1.前序遍历 ABDGH-CEIF
2.中序遍历 GDHBAE-ICF
3.后序遍历 GHDBIEFCA
4.层序遍历 ABCDEFGHI
A
B C
D E F
G H I
有同学会说，研究这么多遍历的方法干什么呢？
我们用图形的方式表现树的结构，应该说是非常直观和容易理解，但是对于计算机来说，它只有循环、判断等方式来处理，也就是说，
它只会处理线性序列，而我们刚才提到的四种遍历方法，其实都是在把树中的结点变成某种意义的线性序列，这就给程序实现带来了好处。
另外不同的遍历提供了对结点依次处理的不同方式，可以在遍历过程中对结点进行各种处理。
前序遍历算法
二叉树的定义是递归的方式，所以，实现遍历算法也可以采用递归，而且极其简洁明了。
//二叉树的前序遍历递归算法
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T == NULL)
return;
//显示结点数据，可以更改为其他对节点操作
printf("%c", T->data);
//再先序遍历左子树
PreOrderTraverse(T->lchild);
//再后续遍历右子树
PreOrderTraverse(T->rchild);
}
中序遍历算法
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if (T == NULL)
return;
//中序遍历左子树
InOrderTraverse(T->lchild);
//显示节点数据，可以更改为其他对节点操作
printf("%c", T->data);
//最后中序遍历右子树
InOrderTraverse(T->rchild);
}
后续遍历算法
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if (T == NULL)
return;
//先后序遍历左子树
PostOrderTraverse(T->lchild);
//在后序遍历右子树
PostOrderTraverse(T->rchild);
//显示结点数据，可以更改为其他对结点操作
printf("%c". T->data);
}
赫夫曼树
压缩优化的二叉树存储结构
赫夫曼编码
为了解决当年远距离通信（主要是电报）的数据传输的最优化问题。通过树结构对字符重新编码
- 将出现频率高的字符放在离根节点近的位置
- 使用二叉树路径表示字符编码
压缩后的编码表
| 字母 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 二进制字符 | 01 | 1001 | 101 | 00 | 11 | 1000 |
