agc032 A~E 题解

a

倒推，每次删掉最后一个b[i]=i的即可

b

一开始发现可以构造完全二分图，使两边和同为S，这样每个点的和=对面二分图点的和=S，然后n=6和为奇数

进一步发现可以直接分成A组组内和为B的组，然后组之间连边，此时S=(A-1)B，有AB=n(n+1)/2

当n为奇数时取A=(n+1)/2，B=n，n单独一组其他大匹配小；n为偶数时A=n/2，B=n+1，直接大匹配小

c

图连通，显然不能有奇数度数

可以一眼盯真发现最大度数=2时只有一个环，No

最大度数>=6时，取最大度数点作为起点，每次出-进作为一个环，那么至少有3个环，Yes

最大度数=4且有>=3个4度点时，任意取3个4度点xyz，从其中一个4度点出发，除了x-y-z-x-y-z-x只能走出2个环以外其他都是至少3个环
手玩一下，发现x-y-z-x-y-z-x这样x,y,z之间都有2条路，所以存在x-y-x-y-z-y-x的走法，这样也有至少3个环，所以都是Yes

当最大度数=4且有1个4度点时是两个环+一个交点，No

最后剩下最大度数=4且有2个4度点，此时可能是2个环相交两次，也可能是3个环按顺序相交。删掉其中一个4度点，连通是前者，不连通是后者

d

由于A操作可以任意选区间，所以等于把任何一个数往后移；B操作等于前移

考虑序列2 5 1 4 7 3 6 8，选择2468不动，其间大的左移小的右移；所有的方案都可以这样表示，变成选一个上升子序列不动，其他的左/右（不用严格保证两项之间无再选，少选了更劣）

所以直接dp，\(f[i][j]\)表示考虑完1..i怎么动，最后一个不动的大小为j，j单调递增

加入一个小于j的只能左移，加入一个大于j的可以右移或者留下作为j'
在序列前加一个0，初值为\(f[0][0]=0\)

非常简单（

e

重要结论（from 小粉兔）：

证一下右边3个：

旧蓝线(a,b)>=新蓝线，并且旧蓝线和新红线之间有公共元素b，所以新红线为(b,c)

此时旧蓝线=a+b，新红线=b+c-m=(c-m)+b，a>=0>c-m，所以旧蓝线>=新红线

因此旧max>=旧蓝线>=新max，所以会变小

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然后合法的分界点序列（偶数位置）是一段区间，过左会让右边最小的匹配对小于m，过右会让左边的大于等于m
（最大匹配最小实际是max最小，min最大的匹配方式），且一定存在至少一个合法分界（初始任意连，然后自然调整得到一种方案）

而且分界越往左答案越小，所以二分找到第一个满足右侧合法性的即可

f（不会）

没想明白转化的正确性（