一句话题解（2021.5）

7094. 【2021.5.28 NOI模拟】菜肴挑选(dish)

n为奇数：连所有等腰三角形，发现每条边作为腰两次底边一次

n为偶数：先对n-1做，然后做距离=1(a,b)的(a,b,n)2次，距离=2(a,b)的(a,b,n)1次

发现此时n和其他的都是6次，距离1的5次距离2的4次其他3次，剩下的做n-1的腰>=2的等腰三角形

距离1的只能做底边，距离2的只能做腰，其余的都可以

7093. 【2021.5.28 NOI模拟】一道计算几何的模板题（geometry）

求出每个x的maxminy做凸包，求可以把环拉出来线段树，或者暴力倍增

常数更小的做法是枚举max/miny，把环反过来用并查集取覆盖能取到的x

注意重点和共线

7092. 【2021.5.26 NOI模拟】喂鱼（fedfish）

回滚莫队，用链表做到O(1)插入撤销，两端都在块内的先加跨过整区间的，再暴力加内部的

7091. 【2021.5.26 NOI模拟】矩阵（matrix）

burnside行列，对于一个a行b列的置换会产生(a,b)个环

暴力拆分数一边，另一边dp，p(√n)很小

7090. 【2021.5.26 NOI模拟】愤怒的 PTY（angrypty）

发现k等于gcd，ij等于剩余部分，所以Ans=ΣΣn/lcm(i,j)，枚举lcm得到Ans=Σσ0^2(i)，min25

6244. 【NOI2019模拟2019.7.1】为了部落

prufer搞森林，把1~m的拉出来每次找叶子删，序列前n-m-1是n最后一个是m

写出总度数确定的式子，问题等于把1~m放入序列，满足每种次数不超K

设f[i,j]表示放了i个j种不超K，转移考虑加上当前的为K+1的方案，减掉，组合数拆开算

6250. 【NOI2019模拟2019.7.3】魔法咒语

容斥，枚举天数和长度，用egf容斥

推一下得到一个求$\large \sum_{i>=l}^n \binom{i}{l}(-1)^{i-l}$的东西，这个可以从l=n开始倒推，每次sum*2然后调一下

6248. 【NOI2019模拟2019.7.3】光影交错

求f[i]表示从i往后走的期望步数，设f[-inf]=0,f[+inf]=1/(1-p)，中间解方程，inf设为3e6

7098. 【2021.5.29 NOI模拟】究竟(wonder)

7096. 【2021.5.29 NOI模拟】签door♂题（ohyessir）

签door♂失败

7097. 【2021.5.29 NOI模拟】Rhuzerv（rhuzerv）

两个问题独立，分开瞎推

arc120

A：操作后的就是新的max

B：只有一斜上颜色全相同才合法，否则找到相邻不同的两个换一下就非法，统计

C：ai加i，每次操作交换相邻的

D：最优显然是把前n和后n匹配，用栈维护

E：先求差，每次把若干段-1把中间间隔的一段+1

最优肯定是先分成若干段，然后每段直接消掉，分的段初始就确定了后面再确定肯定不优，并且不会先-1后+1，否则不好分段

再观察一下，发现-1拆开后的段长度不超过2，否则可以在中间继续分，因为里面-1+1结果不变但可能多分一段，所以尝试分段不会劣

设f[i]表示搞完前i段的答案，转移枚举上一段即可，只有最多3个

F：分治fft，O(n)？

*F2：

gym103069

A：设f[i,x,y,1~4]表示当前到i，后两个是xy，选了多少位，可以把i滚动

B：离线，等于求每个矩形内的最小值，枚举上下边界，把中间的搞笛卡尔树，暴力n^3

C：反着得到rand()%i，变成%lowbit(i)，每次的x写成初始若干位的异或，消元后枚举自由元O(n)一次判断

D：两人一定是有一段相同的，枚举这段的端点，得到(a,b)表示走了a条公共的b条各自的，把ab偏序去掉后只有n对，每对log^2随便二分判断

E：

F：sort

G：离线r，分奇偶维护(a,b,c)表示奇增量，偶增量，历史和，每次rev一下然后+奇数和

维护rev，奇增量系数，偶增量系数

H：

I：模拟，各种二分，注意+1-1

J：

K：转化，变成B构造最优的4张牌使得能打赢A

结论：A无同花顺必败

若A无同花顺无四带一，则B可以在剩下8数字中选四个，然后随便拼一张牌来四带一

若A是四带一，如果不是四个一则B可以选四个一，否则B可以找一个公共的来组同花顺

所以A一定是同花顺，只有最大的牌是公共牌时B才能往后接四张来打赢A，判一下边界以及皇家同花顺A必胜（无论1是否公共）

究极内鬼：把同花顺判成五连炸

L：考虑每个质因子次数%2，相邻偶数即最后全0/全1

M：

7089. 【2021.5.18 NOI模拟】排序（sort）

k=1：网络流，建i->T连ai，每个限制建新点x连S->x连wi，x->xi/yi连inf，则要么割xi和yi要么割wi

k>1就a*，实现可以用trie来找，由于估价精确所以总网络流次数nk

7088. 【2021.5.18 NOI模拟】复原 （restoration）

对一个大小为x的环操作后得到(x,k)个x/(x,k)大小的环，分类做背包

时间复杂度：设a=x/(x,k),c=(x,k)，则有x=ac，(ac,k)=c，所以c是k的约数，每个a共有最多d(k)个，总复杂度为O(sum*d(k))=O(n*d(k))，要卡常

7087. 【2021.5.18 NOI模拟】差异（difference）

离散化权值线段树，维护当前每个位置的方案，最小值一定是一段a+1一段a一段a+1，可以归纳

转移讨论，除了继承外还有把上一段的a加到当前段的a+1上，然后把[1,L-1]和[R+1,n]清空，要卡常

arc119

没打

A：神必做法：先设a=N,b=c=0，之后不断减少a

发现当a%2=0时把a/2,b+1优于不变优于a-1,c+2^b，当a%2=1时只能a-1,c+2^b，判一下

实际直接枚举b=0~60就可以了

B：一个0不用移动的充要条件：ST中对应位都是0且前面0的个数相等，必要显然，充分可以分左右移来构造

C：合法的充要条件：段内奇=偶，因为可以把a,b,c变成a,b+a,c+a再变成0,b,c+a，可以实现奇数/偶数位内部移动，相邻的可以相消

D：把同行/列的红色格子连起来，得到若干红色独立块，考虑每一块的贡献

结论：设块的大小为a*b，则存在一种方法，使得有a行b-1列，或a-1行b列被消掉

首先不可能a行b列都选，否则去掉最后一次的行/列还有列/行存在，最后的红色格子会被消掉

然后把行/列取反，变成有若干行列选择的，每次把选择了的红色格子十字扩展

证明这样一定可以全覆盖(还原成初始状态)，若无法还原则消完后得到了一个稳定的红色独立块，且不存在初始有红色格子在块延伸的行/列上且后面被消掉，否则消掉时必然可以扩展一行/列来打破独立块，也就是说这个块是初始就存在，而不是消去部分后得到的，所以矛盾

求出最优的总行覆盖数，然后确定每个块怎么选，方案就模拟上面的过程

E：把a放到数轴上，等于顺序连线a1~n，操作等于把a->b->...->c->d变成a->c->...->b->d，画图发现只有ab,cd同向且相交时有正贡献，贡献是ab,cd重合部分*2，排序维护max

F：设f[i,j,k]表示考虑完[1,i]，最后一段红/蓝的dis为j/k的方案，转移考虑下一个是什么

发现始终有|j-k|<=2，否则在多的那个往后接时另一个可以用2步来走到，维护一下即可O(n^2)

PE757 Stealthy Numbers

打表，得到A072389，排序去重

形式的证明：

有c-a=b-d-1=x，则a=xy,c=x(y+1)

有N=ab=cd，即yb=(y+1)d，拆开得到y(b-d)=d，代入b-d=x+1得d=(x+1)y，再得b=(x+1)(y+1)

所以有N=x(x+1)y(y+1)

code:https://gmoj.net/senior/#main/code/838579

PKUWC2020 D1T1

考场上直接爬

把暴力dp写成矩阵，打表发现123456和123465可以用行+列变换来转换，即把原p[i]=i的排列变成i->p'[i]，两维同时变

（可以当成是把节点重标号？考虑排列里的每个矩阵，变换后刚好从S[p[i]]->S[p'[i]]

然后按位确定，O(n^5)

6252. 【NOI2019模拟2019.7.4】天涯海角

树剖，对链分√链长 块，把每块的A排序维护指针，修改散块就拆开归并

这样没有额外的log，分块复杂度分析发现每次size/2，所以一次的时间最坏是$O(\sqrt n+\sqrt {n/2}+\sqrt {n/4}+...=\sqrt n)$

6213. 【NOI2019模拟2019.6.13】String

最优策略显然是能取就取，把每次取的分段，相当于求x+s+y，其中xy是字符，s是字符串，求任意两种xy的最小|s|使得存在某种xsy未出现

长度是log所以可以暴力，然后矩乘直到最短>N

也可以找到总长最小的，然后连有向无权边，找环，或者链上反复，讨论一下即可线性

7082. 【2021.5.10 NOI模拟】中单（bdd）

直接做是五维偏序，讨论s的大小关系+做差变成四维，cdq时间，排序一个差，A丢到trie上，发现另一差可以变成判定性问题，按位确定

这样就是三维，O(n log^2)，可以把trie提前变成整体二分做到线性空间

PKUWC2021 D2T1 火山哥与打铁传说

之前刚了3h，现在直接不会了

考虑把破盾的毒鱼变成小鱼，硬点剩下的毒一定能匹配，此时只需要保证前缀和>=0

如果前缀和<0就把前面第一个-1变成+1，发现就是全体+2，所以加的最小次数可以算得

剩下的毒就是能打的数量，再加就不优了，所以就是答案

6212. 【NOI2019模拟2019.6.13】Graph

类似global round G，猜测ans2是每个强连通分量的环gcd的lcm，猜测ans1<=n^2

证明(?)：https://www.zhihu.com/question/39143483

然后二分，bitset优化矩乘

7079. 【2021.5.9 NOI模拟】消除（increase）

类似arcE，写一个排列然后顺序删合法点，发现dp不好搞所以枚举x（直接搞n^4），每选一个乘x

问题是怎样不重不漏确定排列，设f[i,j]表示到i子树，有j个点未确定，硬点每个点只会在左边排列的位置最右的祖先上选

发现这样新加i时不能往前插，且确定的都在i后，直接背包合并+插值O(n^3)

arc118

A：每次+t，如果t>=100就会跳一个，算一下100n/t

B：可以二分求区间，也可以卡到floor(n*a/m)，然后先把+1会减小的+1，然后堆维护+1后最小的

C：1放3*5*7*11，后面的放2*(3or5or7or11的倍数)

D：求原根，变为每次±x,±y，充要条件是gcd(n-1,x,y)=1

充分性构造，设x为奇数，按%gcd(n-1,x)分组，先每次+x得到a1,a2...，然后交替+y/-y直到碰到ai，得到a[k]-x,a[k-1]+x...a[2]+x，a[1]（0）+x，然后+x即可走回0

E：设f[i,j,k,0/1,0/1]表示当前到(i,j)，容斥固定了k个a=-1，当前行/列还能否放，最后乘上(sum-k)!

F：设dp[i,x]表示考虑[i,n+1]，且ai=x的方案，转移dp[i,x]=Σdp[i+1,y] (ai*x<=y)，设Ri表示x的上界

结论：对dp[i]插值得到的是n+1-i次多项式

证明考虑设fi(x)=dp[i,x],Fi(x)=Σdp[i,y] (1<=y<=x)，则dp是fi的点值，转移有fi(x)=Fi+1(R[i+1])-Fi+1(A[i]x-1)，代入x'=A[i]x-1后fi(x)的次数等于Fi+1(x)的次数，而Fi(x)的次数等于fi(x)次数+1

维护n+1项，每次直接对Fi+1插值，然后点值求Fi+1(R[i+1])和x=1~n+1的Fi+1(A[i]x-1)，直接搞是n^3，当a=1时只用点值Fi+1(R[i+1])，所以是O(n^2logm)

abc176F - Brave CHAIN

简单的想法：设f[i,x,y]表示当前考虑i,i+1,i+2，之前剩下x,y两张牌的答案

这样是n^3的，考虑硬点x,y非0则必匹配，直到匹配完为止，这样的话如果xy都非0则可以直接跳到下一个x/y出现的位置，中间的直接前缀和

对于每种状态xy，一共会在sum[x]+sum[y]个位置出现，对于x来说就是sum[x]*n，n种加起来就是n^2，很河里

具体来说，设f[i,x]表示当前考虑到[i,i+2]，无匹配/有x准备匹配，设g[i,y]表示当前考虑到i所在块（连续三个），有a[i],x准备匹配且先匹配a[i]

优化点在于把牌a[i]和位置i记一起了，而且可以直接跳到下一个a[j]=a[i]的j，根据上面的性质中间可以跳过

讨论亿下即可，时间O(n^2)

感觉可以枚举新加的三张的情况，分成 和现有的匹配/自己匹配/新加入 三类，应该可以减少讨论

7076. 【2021.05.08 NOI模拟】膜拜(orz)

把边看成点，a树的边（边权为两端点权max）会对b树路径上的边连有向边，反之亦然，u->v选了u就要选v

倍增优化连边tarjan，拓扑求出w（可以在tarjan里求），询问再倍增，O(nlogn)

不难写但很长，而且卡常（树剖log^2吊打std

6217. 【NOI2019模拟2019.6.14】最大面积

把[L,R]求和得(x,y)，发现答案一定在(x,y)的上凸壳上（A>0时，否则反过来）

分治，每次把跨过中间的求闵可夫斯基和，总个数nlogn个，建凸壳按x排序建，询问二分，总复杂度O(nlog^2n+qlogn)

6216. 【NOI2019模拟2019.6.14】序列计数

转移写成矩阵，前缀和维护做到O(n*Σ^2)，发现原矩阵是每次把一行设为总和，逆矩阵是把其他列减去当前列，维护一下可以O(n*Σ)

6215. 【NOI2019模拟2019.6.14】硬币游戏

发现可以把一个组拆成独立的a,a+b，和原问题等价

显然分开每个都是凸的，扫过去维护分界点

7075. 【2021.5.4 NOI模拟】网格(grid)

染色v[i,j]=(j-i)%n+1，设行i的优先级为v[i,j]从大到小，列j的优先级为v[i,j]从小到大，枚举颜色，把合法的格子拉出来跑稳定匹配（配过的或已经填了的优先级最低），最后一定有解

稳定匹配：n男n女配对，每个人有对面的优先级排序，求一组稳定解使得没有x和a满足xa未匹配且二者彼此比现在的更优

策略：每个无配偶的男按自己的优先级顺序追求女（一轮轮搞），若女被多男追求则选自己最优的（之前有男就甩掉），最后一定有解且稳定

证明：

①有解：若某男最后无女，则存在1女无男，则该男已追求过所有女，而每个女被追求后一定会有男，所以矛盾

②最优：xa未匹配，若x未追求过a，则x当前的优于a；若x已追求过a，则a当前的优于x

时间O(n^2)

关于本题，对于一个格子(x,y)，若在其某个合法颜色没有选，则存在(x,j)和(i,y)，由于跑的是稳定匹配，所以(x,j)优于(x,y)或(i,y)优于(x,y)，而发现任意(x,y)一共有n-1个这样的格子，每次少1个，最后一定轮到自己匹配

时间O(mn^2)

7074. 【2021.5.4 NOI模拟】集合（set）

离线r，对区间取反，线段树维护max(后缀不在区间内的l)，每次区间覆盖，查找线段树二分

7073. 【2021.5.4 NOI模拟】拆分（partition）

当k>0时dp，总数不超√n，当k=0时整数拆分

6033. 【GDOI2019模拟2019.3.26】锻炼

操作等于对两个面异或，把每一维独立，每一维分成最小的若干$2^k$，组合成$2^i*2^j*2^k$，然后后缀和计算，维护$2^k$就直接线段树

6032. 【GDOI2019模拟2019.3.26】吃

把k次方拆开成算每个的次数然后组合，设f[i,j,k]表示到第i列有j列选了总次数为k，直接搞是O(n^3k^2)，硬点次数>=1，最后组合上 次数为0但选了的，时间变为O(n^2k^3)

PE756

化式子，得到$\sum f(x)\binom{n-x}{m}/\binom{n}{m}$，即枚举x考虑剩下m-1个的方案，(xi-xi-1)就再加一个数，这个数刚好有(xi-xi-1)种取值，所以还是m个，容斥掉全在i+1后的（在x前的第一个就是算方案的，所以至少要有一个）

递推维护组合数

https://gmoj.net/senior/#main/code/837350

CF1515

爬了

A：注意到a互不相同所以顺序排，如果sum=x就把相邻的交换，无解当且仅当Σ=x

B：只有横边或斜边，否则写成a+√2b，平方得到无理数√2ab，矛盾

C：一开始没看到h<=x，注意到后可以发现如果每次操作最小的，最小的加的数不超x，所以不会超次小的x以上，堆维护

D：先去掉直接匹配的，考场上想的是把少的那边消掉多的后，给多个那边分配 多-少 个，使得奇数个数最少，实质是一样的但是很阴间

实际直接消就好了，去掉0的后每对贡献至少为1，剩下的奇数对贡献2，当奇<少时奇数消完，n是偶数所以两边都是偶数，可以到下界；否则剩下偶数个奇数，匹配即可，这样显然是最优的

E：最后结果是段-空-段-空-段这样的，段中间的枚举第一个位置左右组合，然后n^3dp（长i空j枚举k）

F：必要条件是sum>=(n-1)x，同时也是充分条件，证明把点权随机丢到相邻边上，至少一条>=x

直接贪心构造dfs，每次先走正贡献的，然后再走负贡献的，能往下合就先合并否则最后合并（可能下面的不够合成一个点），一定有解

G：分强连通分量处理，显然是找到里面最小同余x，一个点是x其他可以走到他然后多走几圈消掉得x

类比xor和无向图，定义环为两条x->y的路径，则可以1->x->(a)y->1，%x=0时把一条换成1->x->(b)y->1，这样就得到了(b-a)，所以对所有环取gcd(b-a)

考虑找环，任意找一个外向dfs树，每条非树边刚好对应一个环，其他环可以用找到的环组合，询问取gcd判

*H：

*I：

7071. 【2021.4.30 NOI模拟】图书馆 (library)

暴力，找到补完后不超的数(3w多个)，每个每次加奇数因子补到偶数的积，判断lcm就是偶%奇=0