浅谈泰勒展开

参考：https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784

极度生草

泰勒展开式：\(f(x)=\sum_i \frac{f^n(x0)}{i!}(x-x0)^i\)

意义是构造一个函数\(g(x)\)，使得\(g^i(x0)=f^i(x0)\;,i\in[1,\infty)\)

那么对上面的式子求i次导，发现i-1及以前的都被导没了，i+1即以后的求导后一定存在\((x-x0)\)，代入\(x=x0\)时为0，第i项求导后只有最高位的影响会被保留，即乘i!

UPD：\((F^k(x))'=kF'(x)F^{k-1}(x)\)，而(x-x0)'=1，所以求导之后一定存在(x-x0)

所以\(g^i(x0)=f^i(x0)\;,i\in[1,\infty)\)成立