【DP做题记录】

插数dp

（名字是我口胡的，因为它直观上看就在做插数这件事）
假设有一个给定的排列，初始我们有一个空序列，现在从小到大往这个空序列中插入1~n，使得最后得到的序列恰为给定的排列
在插入的过程中我们可以把当前得到的序列想象成若干段，每一段就表示这一段是一个连续的整体，以后插数不能在往里插了；同时我们钦定，相邻的两段若要合并，则必须在接下来的插数过程中往这两段之间插入至少一个数
最后得到的长度为n且恰有一段的序列即为给定的排列。
$\quad$显然任何一个排列都可以通过如上方式生成，且生成的方式是唯一的，即对于给定的排列，每次插入一个新的数时，我们插入这个数的位置和这个数是否与两边的段进行合并是确定的。也就是说通过这种方式，我们可以不重不漏的统计所有的排列，这便是接下来dp的基础。

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Kangroo
首先我们可以把题目抽象成：统计有多少个排列满足开头为s，结尾为t，且对于任意一个位置，其左边和右边的值要么都大于它，要么都小于它
我们考虑通过刚才插数的过程把所有排列构造出来，设f[i][j]表示已经插入1~i，形成了j个段的方案数。考虑转移：
先不考虑s,t，假设现在已经插入前i-1个数，一共有j段，要插入第i个数。有两种情况：

1. 在j+1个空中挑一个插进去形成新的一段
2. 在j-1个被两段相夹的空中插入并把两段合并在一起，形成一个新段。

你会发现，这其中似乎有遗漏的情况：比如为什么不能插进去后只和相邻的一段进行合并
因为我们是从小到大插入数，可以通过归纳证明，任意时刻一段中最边上的元素一定是个“谷”（小于它两边的元素），因此插入的这个数大于之前插入的任何数，正好可以作为“峰”（大于它两边的元素）将两段合并，如果只和其中的一段进行合并，那么之后插入的元素只会比他大，不能再将它再次合并。所以这种情况是不合法的
对于s，t，用刚才的思路也不难推理出来。

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CF704B Ant Man
可以用插数dp来做，但是挖掘题目性质，似乎有$O(n\log n)$的贪心做法