【原根】

阶

称最小的正整数$k$，使得$a^k\equiv 1\pmod m$为$a$在膜$m$意义下的阶。
$a$在膜$m$意义下有阶的充要条件是$gcd(a,m)=1$,必要性由裴蜀定理得出，充分性由欧拉定理给出
阶可以通俗的理解为膜意义下幂的最小循环节，根据欧拉定理，这个上界是$\phi(m)$

原根

1. 定义

若$g$的阶为$\phi(m)$,即取到上界，则称$g$为$m$的原根

2. 存在条件

有且仅有$2,4,p^c,2p^c$有原根，其中$p$表示奇素数

3. 性质

• $g^0,g^1,\cdots ,g^{\phi (m)-1}$两两不相同

  证明：反证法，若存在，则能推出$g$的阶小于$\phi(m)$,矛盾

• $g^0,g^1,\cdots ,g^{\phi (m)-1}$恰好取遍$[1,m]$中所有与$m$互质的数

  证明：由于$g$与$m$互质，那么$g^0,g^1,\cdots ,g^{\phi (m)-1}$都与$m$互质，而与$m$互质的数恰有$\phi(m)$个，因此得证

• 若$m$存在原根，则原根数为$\phi(\phi(m))$
  设$m$的一个原根为$g$，那么所有$m$的原根都可以表示为$g^k$的形式，因为原根必定与$m$互质。
  考虑$g^k$的阶如何表示，即最小的正整数$x$使得$\phi(m)|kx$,那么有 $\frac{\phi(m)}{gcd(\phi(m),k)}|x$
  即$g^k$的阶为$\frac{\phi(m)}{gcd(\phi(m),k)}$
  由此推出，若$g^k$为原根，那么$gcd(\phi(m),k)=1$,也就是说所有满足条件的$k$恰为与$\phi(m)$的$k$，自然，$k$一共有$\phi(\phi(m))$种

4. 应用