【NOIP】【部分题解】

NOIP2021数列

Analysis

先注意题目的关键点：

1. 要满足$S = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_n}$ 的二进制表示中 $1$ 的个数不超过 $k$
2. 一个合法数列的权值是一个 $v_{a_1} \times v_{a_2} \times \cdots \times v_{a_n}$的乘积形式

容易发现，限置和权值的计算都与位置无关，那么可以想到，先计算所有a序列单调不降的所有权值和再乘上个多重集排列数。
那么一个维度表示当前选的最高位是多少，一个维度表示目前选了几个数。我们还要在dp时满足S的限制，但是S的范围太大，不能直接表示。出题人不可能随便给个限制啊，这个限制一定是有一些性质的。

实际上，你会发现n的范围很小，所以S最多比当前选的最大的数的2的次幂要多4位，而且dp时按照从小到大递推，当前最大的数在二进制中对应的位置一旦确定，以后都不会改变，因此只需再用一个O(n)的维度表示前面确定的不会改变的1的个数，和2^4大小的维度表示剩下的S即可。

转移时用刷表法应该更方便，注意要边递推，边把多重集的排列数的贡献算上（一开始以为算不了，想别的方法想了好久。。。）
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补充：关于这题的dp，其实可以归为一类模型：
要给一个序列每个位置填上一个值，而且每个位置的限制相同，贡献也相同，那么可以考虑从小到大往里填值，如果允许某个数只选0个的话，那么就可以省去枚举上一大小的数是多少，转移时乘上二项式系数和累计的贡献