【boruvka算法小记】

算法流程

一开始每个连通分量是一个点本身，每轮，每个连通分量选择和其他连通分量相连的最小的边，然后合并，可以证明最多log轮后，只会剩下一个连通分量，复杂度O(mlog n)
证明：
正确性是显然的，每个联通分量向外连出的最小的边，一定在最小生成树中。
然后考虑，每个连通分量选择和其他连通分量相连的最小的边，那么n个连通分量，连出n条边，这不就变成基环树森林了吗？可最小生成树不能出现环啊？其实，一定不会出现环的情况，考虑一个环如果存在的话说明环上的边是单调递减的，而这是不可能的。（当存在边权相等的边时，可以按照边的编号为第二关键字排序，即强制不存在相等的边）那么每轮过后，每个连通分量一定会至少与另外的一个连通分量合并，那么每轮连通块的个数至少减半，因此最多log轮后剩下一个连通分量。

应用

在稀疏图中，kruskal占优势
在稠密图中，prim占优势
而boruvka适用于边权有特殊性质的完全图中。
例如

1. $(a_i+a_j)\%m$,
   先把所有的$a_i$对m取模，那么当$a_i+a_j\geq m$时，$(a_i+a_j)\%m=a_i+a_j-m$，否则$(a_i+a_j)\%m=a_i+a_j$，对于第一种情况可以用set维护不在当前连通块的点，在上面二分找到最优解，第二种情况取set中最小的元素即可。那么每轮的复杂度是$n\log n$,总复杂度$O(n\log^2n)$
2. $a_i \oplus a_j$
   跟上个问题类似，用01trie维护即可，即将对一个连通块进行处理时，先把这个连通块的的点权在trie树中撤销掉，然后对于这个连通块中的每个点，在trie树中找到最优的点即可。每轮$n\log V$,z总复杂度$O(n\log V\log n)$
   但是其实有更简洁的做法，考虑直接把所有权值加到一个trie树里，然后dfs，从下往上每次合并一个点的左右儿子（如果存在的话），这样做的理由是，某个点左右儿子之间进行合并，一定比跟外面的权值合并要优（trie树的性质）。如果我们先从小到大对权值排个序，那么一颗子树中的权值在区间上是连续的一段，这样就方便统计答案了。复杂度大概$O(n\log^2V)$或$O(n\log V\log n)$
3. 平面图曼哈顿距离最大生成树
   首先有个常见的套路，就是曼哈顿距离转切比雪夫距离，这里简单介绍一下：
   首先切比雪夫距离的定义是，两个点横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值的max
   设两个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,则他们的曼哈顿距离$dis=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$,
   把绝对值拆开有四种情况：
4. $(x_1+y_1)-(x_2+y_2)$
5. $(x_1-y_1)-(x_2-y_2)$
6. $(x_2+y_2)-(x_1+y_1)$
7. $(x_2-y_2)-(x_1-y_1)$
   注意到，$dis$为这四种情况的max，因为绝对值是非负的，把任意一个绝对值取反，一定不如原先大。
   而且1和3,2和4正好是一对相反数，因此可以把max写成绝对值的形式：
   $dis=max(|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,(x_1-y_1)-(x_2-y_2))$
   我们发现这与切比雪夫距离的形式很相似，如果我们令$x_1'=x_1+y_1$,$y_1'=x_1-y_1$,$x_2'=x_2+y_2$,$y_2'=x_2-y_2$
   那么$dis=max(|x_1'-x_2'|,|y_1'-y_2'|)$,这意味着如果我们把所有点的横坐标改为原来的横纵坐标之和，纵坐标改为原来的横纵坐标之差，那么原来任意两点的曼哈顿距离即为当前任意两点的切比雪夫距离。
   然后再来看题目，那么我们实际上要求平面图切比雪夫距离最大生成树。
   使用prim算法复杂度是$O(N^2)$的，注意到这相当于一个完全图求最小生成树，于是我们考虑boruvka算法：
   每个点连向距离其最远的点，发现每个点一定会连向所有点中横纵坐标最大最小的四个点之一，那么经过一轮后只有可能剩下一个或两个连通块，如果剩下两个连通块的话，将这两个连通块连起来，一定是分别从这两个连通块中找到横纵坐标最小或最大的
   四个点，选出一对最长的连起来。
   发现在这个过程中我们只需找到横纵坐标最大最小的点，总复杂度O(N)
   但是这个做法难以拓展到最小生成树的情况。