【boruvka算法小记】
算法流程
一开始每个连通分量是一个点本身，每轮，每个连通分量选择和其他连通分量相连的最小的边，然后合并，可以证明最多log轮后，只会剩下一个连通分量，复杂度O(mlog n)
证明：
正确性是显然的，每个联通分量向外连出的最小的边，一定在最小生成树中。
然后考虑，每个连通分量选择和其他连通分量相连的最小的边，那么n个连通分量，连出n条边，这不就变成基环树森林了吗？可最小生成树不能出现环啊？其实，一定不会出现环的情况，考虑一个环如果存在的话说明环上的边是单调递减的，而这是不可能的。（当存在边权相等的边时，可以按照边的编号为第二关键字排序，即强制不存在相等的边）那么每轮过后，每个连通分量一定会至少与另外的一个连通分量合并，那么每轮连通块的个数至少减半，因此最多log轮后剩下一个连通分量。
应用
在稀疏图中，kruskal占优势
在稠密图中，prim占优势
而boruvka适用于边权有特殊性质的完全图中。
例如
- \((a_i+a_j)\%m\),
先把所有的\(a_i\)对m取模，那么当\(a_i+a_j\geq m\)时，\((a_i+a_j)\%m=a_i+a_j-m\)，否则\((a_i+a_j)\%m=a_i+a_j\)，对于第一种情况可以用set维护不在当前连通块的点，在上面二分找到最优解，第二种情况取set中最小的元素即可。那么每轮的复杂度是\(n\log n\),总复杂度\(O(n\log^2n)\) - \(a_i \oplus a_j\)
跟上个问题类似，用01trie维护即可，即将对一个连通块进行处理时，先把这个连通块的的点权在trie树中撤销掉，然后对于这个连通块中的每个点，在trie树中找到最优的点即可。每轮\(n\log V\),z总复杂度\(O(n\log V\log n)\)
但是其实有更简洁的做法，考虑直接把所有权值加到一个trie树里，然后dfs，从下往上每次合并一个点的左右儿子（如果存在的话），这样做的理由是，某个点左右儿子之间进行合并，一定比跟外面的权值合并要优（trie树的性质）。如果我们先从小到大对权值排个序，那么一颗子树中的权值在区间上是连续的一段，这样就方便统计答案了。复杂度大概\(O(n\log^2V)\)或\(O(n\log V\log n)\) - 平面图曼哈顿距离最大生成树
首先有个常见的套路，就是曼哈顿距离转切比雪夫距离，这里简单介绍一下：
首先切比雪夫距离的定义是，两个点横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值的max
设两个点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\),则他们的曼哈顿距离\(dis=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\),
把绝对值拆开有四种情况： - \((x_1+y_1)-(x_2+y_2)\)
- \((x_1-y_1)-(x_2-y_2)\)
- \((x_2+y_2)-(x_1+y_1)\)
- \((x_2-y_2)-(x_1-y_1)\)
注意到，\(dis\)为这四种情况的max，因为绝对值是非负的，把任意一个绝对值取反，一定不如原先大。
而且1和3,2和4正好是一对相反数，因此可以把max写成绝对值的形式：
\(dis=max(|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,(x_1-y_1)-(x_2-y_2))\)
我们发现这与切比雪夫距离的形式很相似，如果我们令\(x_1'=x_1+y_1\),\(y_1'=x_1-y_1\),\(x_2'=x_2+y_2\),\(y_2'=x_2-y_2\)
那么\(dis=max(|x_1'-x_2'|,|y_1'-y_2'|)\),这意味着如果我们把所有点的横坐标改为原来的横纵坐标之和，纵坐标改为原来的横纵坐标之差，那么原来任意两点的曼哈顿距离即为当前任意两点的切比雪夫距离。
然后再来看题目，那么我们实际上要求平面图切比雪夫距离最大生成树。
使用prim算法复杂度是\(O(N^2)\)的，注意到这相当于一个完全图求最小生成树，于是我们考虑boruvka算法：
每个点连向距离其最远的点，发现每个点一定会连向所有点中横纵坐标最大最小的四个点之一，那么经过一轮后只有可能剩下一个或两个连通块，如果剩下两个连通块的话，将这两个连通块连起来，一定是分别从这两个连通块中找到横纵坐标最小或最大的
四个点，选出一对最长的连起来。
发现在这个过程中我们只需找到横纵坐标最大最小的点，总复杂度O(N)
但是这个做法难以拓展到最小生成树的情况。
