【杜教筛小记】

虽然挺简单的，但用的不多的话，挺容易忘。

问题模型：

给定一个数论函数$f$，定义$S_f(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$
要求在低于线性的时间复杂度求出$S_f(n)$

基本原理：

构造一个数论函数$g$，令$h=f*g$
可以得到
$S_f(n)=\frac{1}{g(1)}(S_h(n)-\sum_{i=2}^ng(i)S_f(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor))$
一般来说$\frac{1}{g(1)}=1$
所以有
$S_f(n)=S_h(n)-\sum_{i=2}^ng(i)S_f(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)$
观察等式右边，可以用整出分块的技巧，递归计算，那么我们要做的就是快速求出$S_h(n)$和$S_g(n)$
可以用积分证明复杂度为$O(n^{3/4})$