【插头DP】【学习笔记】

【插头DP】【学习笔记】

Tips：

虽然插头Dp模板是黑的，但其实算法并不难理解，用到的只是轮廓线dp+哈希表而已，比较复杂的是讨论多种情况的转移和位运算，但封装几个函数以后，代码也十分简单了。
模板

Solution

1. 首先考虑状压dp，考虑需要哪些状态，如果仅仅知道每个格子是否有向下伸出的插头是不够的，例如
   
   
   同样是向下伸出4个插头，前者是合法的，后者是非法的（只允许有一个闭合回路）
   因此，必须要知道插头之间的配对情况。一般有最小表示法和括号表示法。
   最小表示法就是从左到右按照顺序给左边的插头标号为1,2,···,n,并给对应的右插头标成同样的数，对于无插头标为0
   括号表示法是有限制条件的，本题中的插头情况一定在任意一个时刻满足，插头两两配对，且不存在交叉，因此可以用括号表示法用一个3进制数表示，其中0表示无插头，1表示左插头，2表示右插头。为了方便利用位运算，通常把它当成4进制计算
2. 如果按行转移的话，若直接枚举相邻的两行判断能否转移，时间是不够的，但如果枚举一行计算它能转移到哪些行又太复杂。考虑轮廓线dp
3. 设f[i][j][s]表示枚举到第i行，第j列，轮廓线状态为s，且满足之前的格子全部合法的方案数（合法指每个需要填的格子，一定填，且度为2，不需要填的一定不填，除最后一个能填的格子外，不存在已经封口的闭合回路）
4. 分类讨论（这个太复杂需要图来说明，就看别人博客吧）
5. 优化：首先前两维可以滚动，而且发现每一层合法状态很少，所以考虑刷表法，只转移合法的状态，可以用个数据结构将每一层合法的状态存起来，每次遍历这一层所有的合法状态，同时推出下一层所有的合法状态，计算出对应的方案数。因为可能有的状态从好几个状态转移而来，所以用大小与状态数接近的哈希表来维护，复杂度期望是线性的。注意到f数组可以省略掉，直接用hash表进行转移即可。当然这个hash也是滚动的，要开两层。

代码细节

1. 哈希表对N取模后，值有可能为0，为了方便，hd数组下标从0开始，因此其初值要赋成-1，遍历时用~i来判断。
2. 只有在最后一个合法格子才能封口统计答案，因此需要提前找到这个点的坐标ex，ey
3. 每计算完一行，状态是：
   
   但转移到下一层需要用的是：
   
   显然这两个侧边始终都是0，原先是0······，现在是······0，相当于所有原先的状态在4进制下左移一格，每计算完一行，以此更新当前状态即可。
4. 用两个变量表示上层状态lst，这层状态cur，写起代码更直观些。
5. 封装mk(i,k)函数表示生成一个在第i为k，其余为0的4进制数，方便转移。
6. 封装get(s,k)函数返回4进制数s的第k位，也是方便转移
7. 封装update(cur,s,w)表示将第cur层的hash表中状态为s的方案数加w。
8. 注意在找与某个插头对应的另一插头时，要用sum计数
9. mp[i][j]用来表示第i行j列的格子是否要放，对于不在棋盘上的格子要默认为不放（即用1表示放，0表示不放）

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') {w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*w;
}
inline void write(int x)
{
	if(x<0) putchar('-'),x=~(x-1);
	if(x>9) write(x/10);
	putchar('0'+x%10);
}
const int N=50000;
int n,m,mp[20][20];
int hd[2][N],cnt[2];
struct node{
	int nxt,s,w;
}e[2][N];
int ex,ey;
char str[20];
void update(int cur,int s,int w)
{
	int pos=s%N;
	for(int i=hd[cur][pos];~i;i=e[cur][i].nxt)
	{
		if(e[cur][i].s==s){
			e[cur][i].w+=w;return;
		}
	}
	e[cur][++cnt[cur]].nxt=hd[cur][pos];e[cur][cnt[cur]].s=s;e[cur][cnt[cur]].w=w;hd[cur][pos]=cnt[cur];
}
int get(int s,int pos)
{
	return s>>pos+pos&3;
}
int mk(int pos,int k)
{
	return k*(1<<pos+pos);
}
int res;
void print(int x)
{
	for(int i=0;i<=m;++i) write(x&3),x>>=2;
}
signed main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
    	scanf("%s",str+1);
    	for(int j=1;j<=m;++j) if(str[j]=='.') mp[i][j]=1,ex=i,ey=j;
	}
	memset(hd,-1,sizeof hd);
	int cur=0;update(cur,0,1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=cnt[cur];++j) e[cur][j].s<<=2;
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			int lst=cur;cur^=1;memset(hd[cur],-1,sizeof hd[cur]);cnt[cur]=0;
			for(int k=1;k<=cnt[lst];++k)
			{
				int s=e[lst][k].s,w=e[lst][k].w;
				int x=get(s,j-1),y=get(s,j);//cout<<i<<" "<<j<<" "<<x<<" "<<y<<" ";print(s);puts("");
				if(mp[i][j]==0){
					if(!x&&!y) update(cur,s,w);
					continue;
				}
				if(!x&&!y){
					if(mp[i][j+1]&&mp[i+1][j]) update(cur,s+mk(j-1,1)+mk(j,2),w);
					continue;
				}
				if(!x&&y){
					if(mp[i][j+1]) update(cur,s,w);
					if(mp[i+1][j]) update(cur,s-mk(j,y)+mk(j-1,y),w);
					continue;
				}
				if(!y&&x){
					if(mp[i+1][j]) update(cur,s,w);
					if(mp[i][j+1]) update(cur,s-mk(j-1,x)+mk(j,x),w);
					continue;
				}
				if(x==1&&y==1){
					for(int g=j+1,sum=1;g<=m;++g) {
						if(get(s,g)==2){
							sum--;if(sum) continue;
							update(cur,s-mk(j-1,x)-mk(j,y)-mk(g,1),w);break;
						}
						if(get(s,g)) sum++;
					}
					continue;
				}
				if(x==2&&y==2){
					for(int g=j-2,sum=1;g;--g){
						if(get(s,g)==2) sum++;
						else if(get(s,g)){
							sum--;if(sum) continue;
							update(cur,s-mk(j-1,x)-mk(j,y)+mk(g,1),w);break;
						}
					}
					continue;
				}
				if(x-1){
					update(cur,s-mk(j-1,x)-mk(j,y),w);continue;
				}
				if(ex==i&&ey==j){
					res+=w;
				}
			}
		}
	}
	write(res);
	return 0;
}
/*
3 3
...
.*.
...
*/