【字符串】【KMP】

【字符串】【KMP】

0. 引入

先看一道模板题：
【模板】KMP字符串匹配
要求一个字符串（称为模式串）在另一个字符串（称为文本串）中的所有出现位置，朴素的方法是对于文本串的每一位，检查以该位为起点，是否能匹配到一个模式串。复杂度O(NM)
当然我们可以用字符串哈希优化到线性，但有更准确的做法：KMP

1. KMP

KMP的基本功能就是进行单个字符串匹配（多个要用到AC自动机）
KMP有两种理解方式：一种是静态的Lborder，一种是动态的（失配后指针移向哪一位），这里主要讲前者。

2. 定义：

一个字符串的border定义为既是其前缀，也是其后缀，但不为其本身的串。
一个字符串的Lborder定义为其最长的border

3. 性质：

1. border的border还是border
   利用这个性质，要找到一个串的所有border，只要不停的跳这个串的Lborder即可。
   因此，一个串所有前缀的Lborder构成一棵树，其中根节点为0。很多题目可以利用这个树形结构来解题。
   2.每个border都与一个不严格循环节一一对应。
   也就是说，如果m是长为n的字符串S的一个border，那么n-m就是S的一个不严格循环节，反之亦然。
   因此找到一个穿的所有不严格循环节，只要枚举一个串的所有border即可。
   而严格的循环节就是使得（n-m）|n的长为m的border。

4. 字符串匹配

1. nxt数组
   nxt[i]表示字符串长度为i的前缀的Lborder的长度
   如何快速求出nxt数组？
   采用递推，假设已知nxt[1~(i-1)],若求nxt[i],可令j=nxt[i-1]。
   检查若s[j+1]==s[i],则令nxt[i]=j+1,否则令j=nxt[j]，继续检查。重复这一步直到匹配成功或j=0
   可以证明复杂度O(|S|)
   CODE：

void getnxt()
{
	for(int i=2;i<=m;++i)
	{
		int j=nxt[i-1];
		while(j&&b[j+1]!=b[i]) j=nxt[j];
		if(b[j+1]==b[i]) nxt[i]=j+1;
	}
}

2. 匹配
   与求nxt的过程类似，记i表示当前文本串匹配到第i位，j表示模式串最多前j位能与文本串前i位构成的子串中后j位进行匹配。
   当i++时，则检查若s[j+1]==s[i],则令j++,否则令j=nxt[j]，继续检查。重复这一步直到匹配成功或j=0
   若j=m，则记录答案，并令j=nxt[j]。
   可以复杂度O(|N|+|M|)
   CODE:

void kmp()
{
	for(int i=1,j=0;i<=n;++i)
	{
		while(j&&b[j+1]!=a[i]) j=nxt[j];
		if(b[j+1]==a[i]) j++;
		if(j==m)
		{
			write(i-m+1);puts("");
			j=nxt[j];
		}
	}
}