<学习笔记>筛法
<学习笔记>筛法
近日学习了两种筛法， 埃氏筛法和线性筛法
筛法
因为质数的因子只有本身和1， 因此一个大于1的数x的倍数都不是质数
根据这个朴素的想法， 我们可以对i的倍数打标记
这样效率是\(O(NlnN)\)的
埃氏筛法
把上面的筛法优化一下， 我们可以发现， 如果一个合数x是P的倍数标记过(P为任意一个质数)， 那么他的倍数也是P的倍数， 也就是说， 能被x标记的都被P标记过。
也就是说我们只需要对所有质数的倍数打标记
效率为\(O(\sum_{P<=N}[P为素数]/P)\)， 其中这个和式的值约为\(ln lnN+M\)， 其中M被称为麦尔滕常数， 在0.2~0.3之间
欧拉筛法
我们对这个埃氏筛法再优化一下， 举个栗子6会被2和3两个数标记到， 也就是说我们重复标记了某一些数
解决方法是让每个合数都只被标记过一次， 每个合数都能分解成若干个质因数的积
具体操作是这样的： 我们只让最小的质因子来标记他， 对于某一个数i， 按P从小到大来， 如果i不是P的倍数（即P不是i的最小质因子）， 那么\(i\cdot P\)肯定能消掉一个未知的合数， 否则i被P标记过了， 此时P为i的最小质因子， 那么对于i的任意倍， 都会被P筛过
也就是说我们每次要么干掉一个未被标记的合数， 要么干掉自己， 所有数被标记的次数最多为1
效率为\(O(N)\)
