算法图解——求二叉树中的最大路径和

题目来源

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。

本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。

该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

示例1：

输入：[1,2,3]

       1
      / \
     2   3

输出：6

示例2：

输入：[-10,9,20,null,null,15,7]

    -10
    / \
   9  20
      /  \
     15   7

输出：42 

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-maximum-path-sum
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 题目分析

有没有发现这一篇多了这一小节，捂脸......因为我怕你们看不懂题（我没看懂题）。

理解该题目，关键是理解其中的“最大路径”，到底这个路径是怎么定义的？

有人说，题目上不是说了吗？是呀，但是意思你真的看懂了吗？

其实我举个小栗子你就知道了。

有二叉树abc，a 是根结点（递归中的 root，当然，也可以加上e是a的父节点），bc 是左右子结点（代表其递归后的最优解）。
最大的路径，可能的路径情况：

      e    
     /
    a
   / \
  b   c

那么，最大路径只可能有三种情况：

1. b + a + c。
2. b + a + e（a 的父结点）。
3. a + c + e （a 的父结点）。

为什么是这样呢？下面做一些说明：

其中情况 1，表示如果不联络父结点的情况，或本身是根结点的情况，即没有父节点。这种情况是没法递归的，但是结果有可能是全局最大路径和。

情况 2 和 3，递归时计算 a+b 和 a+c，选择一个更优的方案然后加上e（如果a有父节点的话）返回。

这样其实就得先比较左右子树的最大路径和，然后再和当前全局最大路径和比较，大的话，可以再往上递归。那么，这里为什么要和全局最大路径和做比较呢？对喽，因为结点有可能是负值，最大和肯定就要想办法舍弃负值（max(0, x)）（max(0,x)）。

 

但是上面 3 种情况，无论哪种，a 作为联络点，都不能够舍弃。

 

题目解答

C++:/** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode {

 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {

public:
    int maxSum = INT_MIN;
　　//比较两者取较大值
    int max(int a,int b){
        return a>b?a:b;
    }
　　//自己的递归函数
    int mymax(TreeNode * root){
　　　　//遇到叶子节点就返回0；
        if(root==NULL){
            return 0;
        }
　　　　　//左右子节点分别递归；之所以和0比较就是，如果子树的最大径和是负数，那么就舍弃掉，你是负的要你何用？大家说是不是？
        int leftSum = max(0,mymax(root->left));
        int rightSum = max(0,mymax(root->right));
　　　　　//计算当前最大路径和为左路径和+右路径和+该节点值，因为不确定该节点是否有父节点。所以先计算出来存起来备用。
        int curSum = leftSum+rightSum+root->val;
　　　　//比较当前最大路径和 和 历史最大路径和；如果当前最大路径和较大，那么将全局历史最大路径和更新，否则不变，但是不管哪种，
　　　　//返回的值都要加上root的值

        maxSum = max(maxSum, curSum);
        return max(leftSum,rightSum)+root->val;
    }

    int maxPathSum(TreeNode* root) {
        mymax(root);
        return maxSum;
    }
    
};

 

 

可以举例分析：

    a
   / \
  b   c

当为：

    2
   / \
  1   3
//最大值为6

    2
   / \
  1   -1
//最大值为3

    -2
   / \
  1   3
//最大值为3

通过以上例子，就能知道最后两步 maxSum = max(maxSum, curSum);       return max(leftSum,rightSum)+root->val; 的意义了。

 

over....