bzoj1492 [ NOI2007 ] --斜率优化DP+cdq分治
显然在某一天要么花完所有钱，要么不花钱。
所以首先想到O(n^2)DP：
f[i]=max{f[i-1],(f[j]*r[j]*a[i]+f[j]*b[i])/(a[j]*r[j]+b[j])},j<i
其中f[j]*r[j]/(a[j]*r[j]+b[j])是第j天最多能买多少A券，B类似。
假如我们已经找到了最优的j，那么有f[i]=(f[j]*r[j]*a[i]+f[j]*b[i])/(a[j]*r[j]+b[j])
令x[j]=f[j]*r[j]/(a[j]*r[j]+b[j])，y[j]=f[j]/(a[j]*r[j]+b[j])
那么有f[i]=x[j]*a[i]+y[j]*b[i]
y[j]=(-a[i]/b[i])*x[j]+f[i]/b[i]
这是一条斜率为-a[i]/b[i]的直线。
由于b[i]不变，而我们要最大化f[i]，所以现在我们可以将问题转化为从一些点中选出一个点，使经过这点的已知斜率的直线的截距最大。
但因为斜率和坐标都是无序的，我们用splay维护一个上凸壳，在求f[i]时从上凸壳中选出一个点j，使j点左右两边的斜率刚好将-a[i]/b[i]夹住，那么i就从j转移。
但这题还有更神奇的cdq分治做法。
我们可以想想，为什么斜率和坐标都是无序的呢？因为我们从1~n依次求解。那能否按照斜率排序后一一求解呢？答案是能。
处理区间[l,r]时先将[l,mid]建成一个上凸壳，然后将[mid+1,r]按斜率排序并更新就可以了。
时间复杂度O(n*logn)
代码:
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 #define N 100001 8 #define Eps 1e-9 9 #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f 10 struct Node{ 11 double x,y,A,B,r,k; 12 int Id; 13 }a[N],t[N]; 14 double f[N]; 15 int i,j,St[N],Top,n,m; 16 inline bool Cmp(Node a,Node b){return a.k<b.k;} 17 inline double _Max(double x,double y){return x<y?y:x;} 18 inline double Slop(int x,int y){ 19 if(!y)return -1e20; 20 if(fabs(a[x].x-a[y].x)<Eps)return 1e20; 21 return (a[x].y-a[y].y)/(a[x].x-a[y].x); 22 } 23 inline void Solve(int l,int r){ 24 if(l==r){ 25 f[l]=_Max(f[l],f[l-1]); 26 a[l].y=f[l]/(a[l].A*a[l].r+a[l].B); 27 a[l].x=a[l].y*a[l].r; 28 return; 29 } 30 int Mid=l+r>>1; 31 int l1=l,l2=Mid+1; 32 for(int i=l;i<=r;i++) 33 if(a[i].Id<=Mid)t[l1++]=a[i];else t[l2++]=a[i]; 34 for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=t[i]; 35 Solve(l,Mid); 36 Top=0; 37 for(int i=l;i<=Mid;i++){ 38 while(Top>1&&Slop(St[Top-1],i)+Eps>Slop(St[Top-1],St[Top]))Top--; 39 St[++Top]=i; 40 } 41 int j=1; 42 St[++Top]=0; 43 for(int i=r;i>Mid;i--){ 44 while(j<Top&&a[i].k<Slop(St[j],St[j+1])+Eps)j++; 45 f[a[i].Id]=_Max(f[a[i].Id],a[St[j]].x*a[i].A+a[St[j]].y*a[i].B); 46 } 47 Solve(Mid+1,r); 48 l1=l,l2=Mid+1; 49 for(int i=l;i<=r;i++) 50 if(l1>Mid)t[i]=a[l2++];else 51 if(l2>r)t[i]=a[l1++];else 52 if(a[l1].x<a[l2].x||(fabs(a[l1].x-a[l2].x)<Eps&&a[l1].y<a[l2].y))t[i]=a[l1++];else t[i]=a[l2++]; 53 for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=t[i]; 54 } 55 int main() 56 { 57 scanf("%d%lf",&n,&f[0]); 58 for(i=1;i<=n;i++){ 59 scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].r); 60 a[i].Id=i;a[i].k=-a[i].A/a[i].B; 61 } 62 sort(a+1,a+n+1,Cmp); 63 Solve(1,n); 64 printf("%.3lf",f[n]); 65 return 0; 66 }
