洛谷P1066 2^k进制数

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/1066

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2^k 进制数。

（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<W≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（2^3=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

输入输出格式

输入格式：

 

输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

 

输出格式：

 

输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

 

输入输出样例

输入样例#1： 

3 7

输出样例#1： 

36

说明

NOIP 2006 提高组 第四题

 

解析

先吐槽一波高精度( ﹁ ﹁ ) ~→

这道题，最难的地方就在于：

读懂题-_-!（也许是我太弱了）

并不是除了第一位外其他位必须大于0，数是有前导0的，而且前导0不算orz

好了，当你确信你读懂题了的时候，那就往下看吧。

我们把任意一个数拆开，如当w=23，k=7时，（每一位假设是x）

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

变成xx | xxxxxxx | xxxxxxx | xxxxxxx

有没有觉得首位在搞特殊(⊙ω⊙)

那我们就来讨论一下吧。

 

若首位是0，那不就美滋滋啦(～￣▽￣)～

后面的数据随便乱搞不就行了(～￣▽￣)～

乱搞的条件如下：

①至少留下2组数据

②剩下的数全是0不管啦

③最多分w/k组

④如果这一组不是0，那么右边的必须比他大。

第④个条件不太好写啊，怎么办呢？Σ( ° △ °|||)︴

我们来转化一下：

从小到大，是不是意味着每个数只能选一次呢？

在任意一组数内，从小到大的排序只有一个哦=￣ω￣=，即一组确定数内只有一个合法

那不就可以转化成求有多少组合啦(⊙ω⊙)

所以，当留下x组时，对答案的贡献便是 在所有的可选的数中，选出x个数的组合数啦。

所有可选的数有多少呢？2^k-1 ,不能选0哦(⊙ω⊙)

好了，这一步的贡献便是：

c(2^k-1,2)+c(2^k-1,3)+...+c(2^k-1,w/k)。

 

好了，正式现实，首位不一定等于0啊( ﹁ ﹁ ) ~→

那怎么办Σ( ° △ °|||)︴

想一想，设首位是x，那么后面的数只可能是x+1,x+2,...,2^k-1,

模仿上面的思路，那么这次对答案的贡献，不就是c(2^k-1-x,w/k)啦(～￣▽￣)～

这里也不要忘了限制条件哦

①2^k-1-x>w/k，你必须要给后面的数充足的机会( ﹁ ﹁ ) ~→

②设最高位的位数为m，则1<=x<=2^m-1。最高位也就这么多。

 

把两者的答案加一块，便是答案。

好了愉悦地提交(～￣▽￣)～

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long 
ll k,w,n,ans,r;
ll c[550][550];
int main(){
    scanf("%lld%lld",&k,&w);
    n=(1<<k)-1;
    r=(1<<(w%k))-1;
    c[0][0]=1;
    for (ll i=1;i<=n;++i){
        for (ll j=0;j<=n;++j){
            if (j) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
            else c[i][j]=c[i-1][j];
        }
    }
    for (ll i=2;i<=w/k;++i){
        ans+=c[n][i];
    }
    for (ll i=1;i<=r&&n-i>=w/k;++i){
        ans+=c[n-i][w/k];
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

80分？！Σ( ° △ °|||)︴

哇答案还能这么大Σ( ° △ °|||)︴

上个高精度吧-_-!

高精度要注意啦：

一定要确定好大小，过大mle，过小wa orz

好了代码如下（吐槽自己：废话好多( ﹁ ﹁ ) ~→）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll int 
ll k,w,n,r;
struct bigint{
    int a[310];
};
bigint operator + (bigint a,bigint b){
    bigint c;
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    int pin=max(a.a[0],b.a[0]);
    for (int i=1;i<=pin;++i){
        c.a[i]=a.a[i]+b.a[i];
    }
    for (int i=1;i<=pin;++i){
        if (c.a[i]>=10){
            c.a[i+1]+=c.a[i]/10;
            c.a[i]%=10;
        }
    }
    if (c.a[pin+1]) pin++;
    c.a[0]=pin;
    return c;
}
void print(bigint x){
    if (x.a[0]==0) printf("0");
    for (int i=x.a[0];i>=1;--i){
        printf("%d",x.a[i]);
    }
}
bigint c[550][550];
bigint ans;
int main(){
    scanf("%d%d",&k,&w);
    n=(1<<k)-1;
    r=(1<<(w%k))-1;
    c[0][0].a[0]=1; c[0][0].a[1]=1;
    for (ll i=1;i<=n;++i){
        for (ll j=0;j<=n;++j){
            if (j) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
            else c[i][j]=c[i-1][j];
        }
    }
    for (ll i=2;i<=w/k;++i){
        ans=ans+c[n][i];
    }
    for (ll i=1;i<=r&&n-i>=w/k;++i){
        ans=ans+c[n-i][w/k];
    }
    print(ans);
    return 0;
}