石子合并（四边形不等式优化）

题目大意很简单，和普通的石子合并过程没有区别，只是花费变成了一个多项式，若连续的任意个石子权值和为x，那么代价变为F(x) = sigma(a[i] * x^i)，求将n堆石子合并为一队的最小花费。

对于暴力的做法，复杂度是O(n^3)的，所以要优化

我们知道当a, b, c, d(a <= b < c <= d)当有cost[a][c] + cost[b][d] <= cost[a][d] + cost[b][c] 时，我们称其满足四边形不等式，设p[i][j]表示当区间[i, j]取最优决策时所选择的下标，这时可以证明有p[i][j - 1] <= p[i][j] <= p[i + 1][j]（花了我好长时间终于证明了），没事了可以证明下看看，也可以记住这个结论。

这时当按区间dp时，计算区间[i, j]的最优解，只要枚举[p[i][j - 1], p[i + 1][j]]即可，由于数组p取值为[1, n]且是单调的，所以枚举的总复杂度为O(n)，最后加上区间枚举的复杂度，总复杂度为O(n^2)

所以对于一般性的题目，需要证明的只有dp量是不是满足四边形不等式的，对于这道题就是要证明:

设sum(a, b) = x, sum(b, c) = z, sum(c, d) = y;

有 F(x + z) + F(y + z) <= F(z) + F(x + y + z),即证明:

sigma(a[i] * ( (x + z)^i + (y + z)^i - z^i - (x+y+z)^i )) <= 0,转化为证明：

(x + z) ^ n  +  (y + z) ^ n  -  z ^ n  -  (x + y + z) ^ n <= 0恒成立。

很明显这个不等式可以利用数学归纳法加以简单的证明。

 

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf (-((LL)1<<40))
#define lson k<<1, L, (L + R)>>1
#define rson k<<1|1,  ((L + R)>>1) + 1, R
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define FIN freopen("in.txt", "r", stdin)
#define FOUT freopen("out.txt", "w", stdout)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i ++)

template<class T> T CMP_MIN(T a, T b) { return a < b; }
template<class T> T CMP_MAX(T a, T b) { return a > b; }
template<class T> T MAX(T a, T b) { return a > b ? a : b; }
template<class T> T MIN(T a, T b) { return a < b ? a : b; }
template<class T> T GCD(T a, T b) { return b ? GCD(b, a%b) : a; }
template<class T> T LCM(T a, T b) { return a / GCD(a,b) * b;    }

//typedef __int64 LL;
typedef long long LL;
const int MAXN = 51000;
const int MAXM = 110000;
const double eps = 1e-4;
//LL MOD = 987654321;

int T, n, m, s[1100], a[10];
LL p[1100][1100], dp[1100][1100];

LL fun(int x) {
    LL ans = 0, p = 1;
    rep (i, 0, m) {
        ans += a[i] * p;
        p *= x;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    //FIN;
    while(~scanf("%d", &T)) while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        rep (i, 1, n) scanf("%d", s + i), s[i] += s[i - 1];
        scanf("%d", &m);
        rep (i, 0, m) scanf("%d", a + i);
        mem0(dp); mem0(p);
        rep (len, 1, n) {
            rep (i, 1, n - len + 1) {
                int j = i + len - 1;
                LL cost = fun(s[j] - s[i - 1]);
                if(len <= 1) { dp[i][j] = 0; p[i][j] = i; }
                else rep (k, p[i][j - 1], p[i + 1][j]) {
                    if(dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost < dp[i][j] || dp[i][j] == 0) {
                        p[i][j] = k;
                        dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost;
                    }
                }
            }
        }
        cout << dp[1][n] << endl;
    }
    return 0;
}