CART（分类回归树）

1.简单介绍

线性回归方法可以有效的拟合所有样本点（局部加权线性回归除外）。当数据拥有众多特征并且特征之间关系十分复杂时，构建全局模型的想法一个是困难一个是笨拙。此外，实际中很多问题为非线性的，例如常见到的分段函数，不可能用全局线性模型来进行拟合。

树回归将数据集切分成多份易建模的数据，然后利用线性回归进行建模和拟合。这里介绍较为经典的树回归CART(classification and regression trees，分类回归树)算法。

2.分类回归树基本流程

构建树：

           1.找到[最佳待切分特征]

            2.若不能再切分，则将该节点存为[叶子节点]并返回

            3.按照最佳待切分特征将数据集切分成左右子树（这里为了方便，假设大于特征值则为左，小于则归为右）

            4.对左子树进行[构建树]

            5.对右子树进行[构建树]

最佳待切分特征：

           1.遍历特征

               1.1遍历特征所有特征值

                    1.1.1计算按该特征值进行数据集切分的[误差]

           2.选择误差最小的特征及其相应值作为最佳待切分特征并返回

基于回归树的预测：

           1.判断当前回归树是否为叶子节点，如果是则[预测]，如果不是则执行2

            2.将测试数据相应特征上的特征值与当前回归树进行比较，如果测试数据特征值大，则判别当前回归树的左子树是否为叶子节点，如果不是叶子节点则进行[基于回归树的预测]，如果是叶子节点，则[预测]；反之，判别当前回归树的右子树是否为叶子节点，如果不是叶子节点则进行[基于回归树的预测]，如果是叶子节点，则[预测]

3.分类回归树的实践说明

误差、叶子节点和预测三者有相关的关联关系，一种相对简单的是误差采用的是y值均方差，叶子节点相应的建立为该节点下所有样本的y值平均值，预测的时候根据判断返回该叶子节点下y值平均值即可。

在进行最佳待切分特征选取的时候，一般还有两个参数，一个是允许的误差下降值，一个是切分最小样本数。对于允许误差下降值，在实际过程中，需要在分割之后其误差减少应该至少大于该bound；对于切分最小样本数，也就是说切分后的子树中包含的样本数应该多于该bound。其实这两种策略都是为了避免过拟合。

4树剪枝

通过在最佳待切分特征选取时进行参数设定来避免过拟合，这其实是一种预剪枝的行为；而在回归树建立后，再进行剪枝，则是一种后剪枝的行为。

后剪枝的过程如下：

如果存在任一子集是一棵树，则在该子集中递归剪枝

计算当前两个叶子节点合并后的误差

计算不合并的误差

比较合并前后误差，如果合并后的误差降低，则对叶子节点进行合并

5模型树

之前讲到误差、叶子节点和预测三者具备关联关系，当建立叶子节点是基于模型的，则构建了相应的模型树。这里可以使用之前的线性回归模型，建立相应的叶子节点。这样误差计算采用的将是线性回归中的误差，而预测则是基于该叶子节点拟合其样本后的参数。

6编程实现

这里createTree负责进行树的构建；chooseBestSplit函数负责进行最佳带切特征的选取，而ops参数则是进行了两个bound的设定；prune进行了相关后剪枝。

这里regErr、regLeaf、regTreeEval是基于简单均值计算的误差、叶子节点和预测；而modelErr、modelLeaf和modelTreeEval（+linearSolve）则是基于线性回顾模型的误差、叶子节点和预测。

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