三角形

1.基本概念

中线：三角形一边中点与这边所对定点的连线段。

高线：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。

角平分线：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。

 

2.三角不等式

1) 三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。

2) 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

 

3.勾股定理

设直角三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c，则a² + b² = c²当角C = 90。

 

4.正弦定理

（R为三角形外接圆半径）：

 

5.余弦定理

 

6.角度

三角形两只内角之和，等于剩下的一只的外角。

在欧几里德平面内，三角形的内角和等于180°。

 

7.锐角、直角、钝角三角形

 

8.等边三角形

等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是a，则其面积公式为

等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个等边三角形可以拼成一个正六边形。

 

9.等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为腰，而另一条边被称为底边，两条腰交叉组成的那个点被称为顶点，它们组成的角被称为顶角。等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。

等腰三角形的底的垂直平分线，刚好又是对应角的角平分线。

等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式。

等腰直角三角形只有一种形状，其中两个角为45度。

 

10.退化三角形

退化三角形的面积为零。这种三角形通常只有几类：如果一个三角形内的三只角的角度分别为(180,0,0)或

(90,90,0)，则它是一个退化三角形。

另外，如果一个三角形的其中一条边等于其余两条边之和，或者其中一条边为零，都可以称为退化三角形。

 

11.面积

1)已知两边及其夹角

设a、b为所知的两边，C为该夹角，三角形面积

2)已知底和高

即底×高÷2。因为两个相同的三角形叠合可成平行四边形。

3)已知三边长

希罗公式（又称海伦公式）：设p等于三角形三边和的一半：

, 则

简化后为

基于希罗公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设a>=b>=c，三角形面积为

4)在坐标系中已知三顶点坐标

由(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)三个顶点构成的三角形，其面积为：

5）任三角形外心和内心半径算面积法

假设已知三角形面积为x，三边边长分别为a,b,c，s为三角形周长(a + b + c)

内心半径(r)：

外心半径(R)：

6）三角形的五心

内心

三个内角的角平分线的交点三角形内切圆的圆心

外心

三条边的垂直平分线的交点三角形外接圆的圆心

垂心

三条高的交点

重心

三条中线的交点被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)

旁心

外角的角平分线的交点有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心