数据结构与算法分析笔记-前置知识

背景

这部分内容是我学习 数据结构与算法分析 java语言描述的学习笔记，希望对大家有帮助。

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数学知识复习

指数相关

• X^AX^B=X^A+B

• $ \frac{X^A}{XB} $=X^A-B

• (X^A)^B​ = X^AB

• X^N + X^N= 2X^N

• 2^N + 2^N = 2^N+1

对数相关

• log_A B = $ \frac{log_c B}{log_c A} $
• log AB = log A + log B
• log A/B = log A - log B
• log A^B =B(log A)

级数相关

几何级数

• $ \sum_{i=0}^{N}{2i} $ = 2^N+1 -1
• $ \sum_{i=0}^{N}{Ai} $ = A^N+1-1/(A-1)
• 若 0$ \leq$ A $\leq$ 1， $ \sum_{i=0}^{N}{Ai} $ $\leq$ $ \frac{1}{1-A} $

算数级数

• $ \sum_{i=0}^{N}{i} $ = $ \frac{N(N+1)}{2} $
• $ \sum_{i=0}^{N}{i2} $ = $ \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} $

模运算

• 如果A模N和B模N可以得到相同的余数，这样表示：A $ \equiv $ B (mod N)
• 如果有 A $ \equiv $ B (mod N)
  • A + C $\equiv$ B + C (mod N)
  • AD $\equiv$ BD (mod N)

证明方法

归纳法证明

归纳法证明可以分下面几步：

1. 基准证明：确定定理对于小的值的正确性
2. 归纳假设：假设定理对于某个有限数k是成立的
3. 使用归纳假设的定理，证明对k+1也是成立的

由此定理得证

例子：证明斐波那契数列，对于i $\geq$ 1，都有F_i < (5/3)ⁱ 成立

下面按照上面学习的步骤来证明

基准假设：对于i=1，i=2,都有F₁ = 1 < (5/3)¹ 和 都有F₂ = 2 < (5/3)² 成立

归纳假设：假设对于有限数k，都有F_k < (5/3) ^K成立

最后证明：

已知F_k+1 = F_k + F_k-1 ，代入第二步的假设定理

最后化简 F_k+1 < (24/25)(5/3) ^k+1 < (5/3) ^k+1

反证法

反证法的证明过程：

1. 先假设要证明的定理不成立
2. 证明该假设导致某个已知的性质不成立
3. 推断原假设是错误的。

例子：证明存在无穷多个素数。

下面按照上面的步骤证明

假设定理不成立，那么有最大的素数P_k，以构造一个自然数M，另M=P₁P₂P₃...P_k+1

显然M不能够被P₁P₂...P_k整除，总会余1，由此可以推断

• 要么M是一个素数
• 要么M是一个合数，任意一个整数要么是素数，要么是素数的乘积，那么肯定有不在P₁P₂...P_k这个集合外的素数存在，使得M可以被那个素数整除

和已知假设矛盾，所以可以得证，存在无穷多个素数。

附录

typora数学公式语法示例

神奇的素数