The k·p Hamiltonian of graphene

graphene

先看最经典的 石墨烯 RMP 论文

石墨烯的空间群是 \(P6/mmm\)，点群是 \(D_{6h}\)，在 \(\Gamma\) 点处的波矢群是 \(D_{6h}\).

\(K\) 点波矢群推导

石墨烯的空间群是 \(P6/mmm\)，点群是 \(D_{6h}\)，生成元有 \(C_{3z}, C_{2z}, C_{2,110}, P\). 下面来推导 \(K\) 点处的波矢群(以六方格子中心为坐标原点)。

\(K\) 点分数坐标为 \((\frac{2}{3}, \frac{1}{3})\)，\(K\) 点在生成元下的操作:
\(C_{3z}\): \(b_1\) 到 \(b_2\), \(b_2\) 到 \(-b_1-b_2\)，那么:

\[\hat{C}_{3z}K = \frac{2}{3}b_2-\frac{1}{3}(b_1+b_2)=-\frac{1}{3}b_1 + \frac{1}{3}b_2 = K - b_1 = K + G_h \]

\(P\): \(b_1\) 到 \(-b_1\), \(b_2\) 到 \(-b_2\)，那么:

\[\hat{P}K = -\frac{2}{3}b_1-\frac{1}{3}b_2 = K' \neq K + G_h \]

因此，\(K\) 点处没有空间反演对称性，时间反演对称操作同理。

\(C_{2z}\)操作，类似与镜面对称，即垂直于 [100] 方面的镜面。其操作为: \(b_1\) 到 \(-b_2\), \(b_2\) 到 \(-b_1\)，那么得到:

\[\hat{M}_{[100]}K = -\frac{2}{3}b_2-\frac{1}{3}b_1 = K - b_1 - b_2 = K + G_h \]

所以 \(K\) 的波矢群是 \(D_{3h}\), 生成元为 \(C_{3z}, M_{[100]}\)。

\(K\) 点处 \(k\cdot p\) 哈密顿量推导

已知 Dirac 锥的费米面附近的轨道为 A 和 B 子格的 \(p_z\) 轨道。以 \(|A,p_z\rangle, |B,p_z\rangle\) 为基矢。

\(K\) 点附近存在 \(D_{3h}\)，生成元有 \(C_{3z}, M\)。
因为波函数存在相位 \(e^{ikR}\)，在 \(C_3\) 对称操作下，
A 子格移动到 A', \(R = a_1-a_2 =\frac{a}{2}(0,2\sqrt{3})\), \(e^{iK\cdot R}=e^{2\pi i/3}\)；
B 子格移动到 B', \(R = a_1 = \frac{a}{2}(3,\sqrt{3})\), \(e^{iK\cdot R}=e^{4\pi i/3}=e^{-2\pi i/3}\)。
\(C_3\) 的表示矩阵为:

\[\begin{pmatrix} e^{2\pi i/3} & 0\\ 0 & e^{-2\pi i/3} \end{pmatrix} \]

在镜面对称作用下，A 子格到 B 子格，B 子格到 A 子格, 但是会存在相位。
A 子格移动到 B, \(R = \frac{1}{3}(a_1+a_2) = e^{2\pi i/3}\)；
B 子格移动到 A, \(R = \frac{2}{3}(a_1+a_2) = e^{-2\pi i/3}\).
\(M\) 的表示矩阵为:

\[\begin{pmatrix} 0 & e^{2\pi i/3}\\ e^{-2\pi i/3} & 0 \end{pmatrix} \]

PRL 108, 196802 (2012)

哈密顿量的基矢为: $$ |\psi_c\rangle = |d_{z^2}\rangle \\ |\psi_v\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|d_{x^2-y^2}\rangle + i\tau|d_{xy}\rangle) $$ 这里的 $\tau=\pm 1$ 表示不同的 valley, 当 $\tau=1$, 即为 $K$点。该点波矢群为 $C_{3h}$, 生成元为 $C_{3z},M_z$, 在上述基矢操作下，表示矩阵为: $$ \hat{C}_{3z}\psi_c = \psi_c\\ \hat{C}_{3z}\psi_v = e^{\frac{i\tau4\pi}{3}}\psi_v $$

参考PRB 103，035308(2021):

\[\hat{C}_3|d_{xy}+\tau id_{x^2-y^2}\rangle = e^{-\frac{\tau i4\pi}{3}}|d_{xy}+\tau id_{x^2-y^2}\rangle \]

得到:

\[H(k)=v_F(\tau k_x \sigma_x + k_y\sigma_y) + \frac{\Delta}{2}\sigma_z \]

参考:
Phys. Rev. Lett. 99, 236809(2007)
Phys. Rev. Lett. 108, 196802(2012)
Phys. Rev. B 102, 235435(2020)
Phys. Rev. B 103, 035308(2021)

附录

\(K\) 点 \(k\cdot p\) 哈密顿量 Qsymm 程序:

点击查看代码

import sympy,sys
import qsymm
import numpy as np

C = qsymm.chiral(2, U=np.array([[1, 0], [0, -1]]))
C3 = qsymm.groups.rotation(1/3, U=np.diag(np.exp(2j * np.pi / 3 * np.array([1, -1]))))
M = qsymm.mirror([1,0],U=np.array([[0, np.exp(2j*np.pi/3)], [np.exp(-2j*np.pi/3), 0]]))

dim = 2
total_power = 1


#symmetries = [C3]
#family = qsymm.continuum_hamiltonian(symmetries, dim, total_power, prettify=True)
#qsymm.display_family(family)
'''
Matrix([[1, 0], [0, 0]])
Matrix([[0, 0], [0, 1]])
Matrix([[0, I*k_x + k_y], [-I*k_x + k_y, 0]])
Matrix([[0, -k_x + I*k_y], [-k_x - I*k_y, 0]])
'''

#symmetries = [M, C3]
#family = qsymm.continuum_hamiltonian(symmetries, dim, total_power, prettify=True)
#qsymm.display_family(family)
'''
Matrix([[1, 0], [0, 1]])
Matrix([[0, k_x*(sqrt(3) + I) + k_y*(1 - sqrt(3)*I)], [k_x*(sqrt(3) - I) + k_y*(1 + sqrt(3)*I), 0]])
'''

symmetries = [C, M, C3]
family = qsymm.continuum_hamiltonian(symmetries, dim, total_power, prettify=True)
qsymm.display_family(family)
'''
Matrix([[0, k_x*(1 + sqrt(3)*I/3) + k_y*(sqrt(3)/3 - I)], [k_x*(1 - sqrt(3)*I/3) + k_y*(sqrt(3)/3 + I), 0]])
'''