时间反演对称和空间反演对称性

哈密顿量:

$$H(r)=\sum_ke^{ikr}H(k)e^{-ikr}$$

一，时间反演对称性 $\hat{T}$:
$[\hat{T},H(r)]=\hat{T}H(r)-H(r)\hat{T}=0$ 得到: $\hat{T}H(r)\hat{T}^{-1}=H(r)$

$$\hat{T}\sum_{k}e^{ikr}H(k)e^{-ikr}\hat{T}^{-1} = H(r) \\ =\sum_{k}e^{-ikr}\hat{T}H(k)\hat{T}^{-1}e^{ikr} =\sum_ke^{ikr}H(k)e^{-ikr} \\ \hat{T}H(k)\hat{T}^{-1} = H(-k)$$

时间反演算符 $T=UK$.

$$\hat{U}\hat{K}H(k)\hat{K}^{-1}\hat{U}^{-1} = H(-k)$$

时间反演算符为 $T=-i\sigma_y K$，作用到哈密顿量上，

$$H(-k)=TH(k)T^{-1}= \begin{pmatrix} 0&-I\\ I&0 \end{pmatrix}K \begin{pmatrix} h_{\uparrow}(k)&0\\ 0&h_{\downarrow}(k) \end{pmatrix} K^{-1} \begin{pmatrix} 0&I\\ -I&0 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} h_{\downarrow}(k)^{*}&0\\ 0&h_{\uparrow}(k)^{*} \end{pmatrix}$$

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二，空间反演对称性 $\hat{P}$:
$[\hat{P},H(r)]=\hat{P}H(r)-H(r)\hat{P}=0$ 得到: $\hat{P}H(r)\hat{P}^{-1}=H(r)$

$$\hat{P}\sum_{k}e^{ikr}H(k)e^{-ikr}\hat{P}^{-1} = H(r) \\ =\sum_{k}e^{-ikr}\hat{P}H(k)\hat{P}^{-1}e^{ikr} =\sum_ke^{ikr}H(k)e^{-ikr} \\ \hat{P}H(k)\hat{P}^{-1} = H(-k)$$

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三，旋转对称性 $\hat{R}$:
$[\hat{R},H(r)]=\hat{R}H(r)-H(r)\hat{R}=0$ 得到: $\hat{R}H(r)\hat{R}^{-1}=H(r)$

$$\hat{R}\sum_{k}e^{ikr}H(k)e^{-ikr}\hat{R}^{-1} = H(r) \\ =\sum_{k}e^{ik\hat{R}r}\hat{R}H(k)\hat{R}^{-1}e^{-ik\hat{R}r} =\sum_ke^{ikr}H(k)e^{-ikr} \\ \hat{R}H(k)\hat{R}^{-1} = H(\hat{R}k)$$