Dirac源晶体管亚阈值摆幅推导

背景

亚阈值摆幅

亚阈值摆幅 (Subthrehold Swing) 是衡量晶体管开启与关断状态之间相互转换速率的性能指标，它代表源漏电流变化十倍所需要栅电压的变化量，又称为S因子，S越小意味着开启关断速率ON/OFF越快。 (来源: 百度百科)

\[SS = \frac{dV_{gs}}{d \mathbf{log} I_{ds}} = \frac{dV_{gs}}{dV_s}* \frac{dV_s}{d \mathbf{log} I_{ds}}=\frac{k_BTln10}{q}* \frac{dV_{gs}}{dV_s} \]

因为加在栅极的电压 \(V_{gs}\) 分别降落在栅氧化蹭和衬底硅上，所以 \(V_{gs} >= V_s\), \(\frac{dV_{gs}}{dV_s}>=1\), 在室温下 (300K), SS 有最小值 \(k_BT/q * ln10\approx 60 mV\). 因此，对于常规的 MOSFET 而言，亚阈值摆幅一般大于 60 mV/dec。但一些新型器件，如隧穿器件（Tunneling Transistor），可以获得低于此理论值的亚阈值摆幅。

Dirac 源晶体管

简介

2018年，北京大学刘飞老师等人提出用 Dirac 材料作为源端的晶体管，可以打破亚阈值摆幅 60 \(mV/dec\) 的下限，实现更低功耗的作用。本文主要是推导 IEEE TED 65,7 (2018) 的 \(SS\) 值。

图来源自 Nano Lett. 21, 1758 (2021).

根据 Landauer-Buttiker 公式, 通过器件的电流为:

\[I = \frac{2q}{h}\int D(E)T(E)[f_S-f_D]dE \]

这里的 \(D(E)\) 是注入载流子的态密度，\(f_S/f_D\) 是源漏电极的费米能级，\(T(E)\) 是源端到漏端的隧穿概率。在常规的MOSFET中，源端是通过金属载流子注入，所以它的态密度是个常数，因此，\(SS\) 存在一个极限 \(k_BT/q * ln10\)，然而当栅压减小时，态密度如果出现急剧下降的话，则\(SS\) 将打破热力学极限。

对于某种材料，带边附近的电子色散关系为:

\[E=E_{c/v}\pm c_ok^m \]

这里的 \(E_{c/v}\) 分别表示导带价带的带边能量。当 m = 2 表示有质量，m=1 表示 Dirac 电子，因此，\(d\)-维材料的态密度有如下关系:

\[D(E)=D_0|E-E_{c/v}|^{d/m-1} \]

\(\frac{d}{m}-1\) 的值为:

d/m-1 m=2 m=1
d=1 -1/2 0
d=2 0 1
d=3 1/2 2

详细推导

1. \(\frac{d}{m}-1 = 0\) 例子

态密度为 \(D(E)=D_0|E-E_{dirac}|^0=D_0\)，电流值为:

\[I_{thermal}\approx\frac{2q}{h}D_0\int^{+\infty}_{\Phi_B} e^{-E/k_BT}dE=k_BTe^{-\Phi_B/k_BT} \]

\[SS=\frac{dV_{gs}}{d \mathbf{log10} I_{thermal}}=ln10\frac{dV_{gs}}{d\Phi_B}/\frac{d \mathbf{ln} I_{thermal}}{d\Phi_B}=\frac{k_BTln10}{q}\frac{1}{C_1} \]

这里的 \(C_1=-\frac{\partial\Phi_B}{\partial qV_{gs}} （0 < C_1 <=1）\)

2. \(\frac{d}{m}-1 = 1\) 例子

当源端是二维石墨烯 Dirac 材料时，d = 2，m =1, 那么 \(\frac{d}{m}-1 = 1\)。那么它的态密度为 \(D(E)=D_0|E-E_{dirac}|\) 电流值为:

\[I_{thermal}=\frac{2q}{h}D_0\int^{+\infty}_{\Phi_B}dE T(E)|E-E_{dirac}|[f_S-f_D] \]

\[\approx\frac{2q}{h}D_0\int^{+\infty}_{\Phi_B}dE |E-E_{dirac}|e^{-E/k_BT} \]

这里假设\(T(E)=1\), 源端费米能级为 \(E_{FS}=0\)，当 \(\Phi_B\) 大于 \(E_{dirac}\) 时，\(|E-E_{dirac}| = E-E_{dirac}\)，电流值为

\[I_{thermal}=\frac{2q}{h}D_0*(k_BT\Phi_B-k_BTE_{dirac}+(k_BT)^2)e^{-\Phi_B/k_BT} \]

\[=\frac{2q}{h}D_0k_BT*(\Phi_B-E_{dirac}+k_BT)e^{-\Phi_B/k_BT} \]

因此 SS 值为:

\[SS=\frac{dV_{gs}}{d \mathbf{log10} I_{thermal}}=\frac{k_BTln10}{q}\frac{1}{C_1}\left(1+\frac{k_BT}{\Phi_B-E_{dirac}}\right) \]

当 \(\Phi_B\) 小于 \(E_{dirac}\) 时，\(|E-E_{dirac}|\) 分情况讨论, 电流值为

\[I_{thermal} == \int^{+\infty}_{\Phi_B}dE = \int^{+\infty}_{E_{dirac}}dE + \int^{E_{dirac}}_{\Phi_B}dE \]

\[==\int^{+\infty}_{E_{dirac}}(E-E_{dirac})e^{-E/k_BT}dE + \int^{E_{dirac}}_{\Phi_B}(E_{dirac}-E)e^{-E/k_BT}dE \]

\[=2*\frac{2q}{h}D_0(k_BT)^2e^{-E_{dirac}/k_BT}-\frac{2q}{h}D_0(k_BT\Phi_B-k_BTE_{dirac}+(k_BT)^2)e^{-\Phi_B/k_BT} \]

\[=\frac{2q}{h}D_0k_BT(2k_BT*e^{-E_{dirac}/k_BT}+(E_{dirac}-\Phi_B-k_BT)e^{-\Phi_B/k_BT}) \]

3. \(\frac{d}{m}-1 = 2\) 例子

态密度 \(|E-E_{dirac}|^2 = (E-E_{dirac})^2\)，电流值为

\[I_{thermal}\approx\frac{2q}{h}D_0\int^{+\infty}_{\Phi_B}dE |E-E_{dirac}|^2e^{-E/k_BT} \]

\[=\frac{2q}{h}D_0(a\Phi_B^2+(2a^2-2ab)\Phi_B+ab^2-2a^2b+2a^3)e^{-\Phi_B/k_BT} \]

其中 \(a=k_BT,b=E_{dirac}\)

4. \(\frac{d}{m}-1 = 1/2\) 例子

当 \(\Phi_B\) 大于 \(E_{dirac}\) 时，\(|E-E_{dirac}|^{1/2} = \sqrt{E-E_{dirac}}\)，电流值为

\[I_{thermal}\approx\frac{2q}{h}D_0\int^{+\infty}_{\Phi_B}dE \sqrt{E-E_{dirac}}e^{-E/k_BT} \]

当 \(\Phi_B\) 小于 \(E_{dirac}\) 时，\(|E-E_{dirac}|^{1/2} = \sqrt{E_{dirac}-E}\)，电流值为

\[I_{thermal}\approx\frac{2q}{h}D_0\int^{+\infty}_{\Phi_B}dE \sqrt{E_{dirac}-E}e^{-E/k_BT} \]

5. \(\frac{d}{m}-1 = -1/2\) 例子

当 \(\Phi_B\) 大于 \(E_{dirac}\) 时，\(|E-E_{dirac}|^{-1/2} = (E-E_{dirac})^{-1/2}\)，电流值为

\[I_{thermal}\approx\frac{2q}{h}D_0\int^{+\infty}_{\Phi_B}dE (E-E_{dirac})^{-1/2}e^{-E/k_BT} \]

\[=\frac{2q}{h}D_0\sqrt{\pi}(k_BT)^{1/2}e^{-\frac{E_{dirac}}{k_BT}}\mathbf{erf}(\sqrt{\frac{\Phi_B-E_{dirac}}{k_BT}}) \]

当 \(\Phi_B\) 小于 \(E_{dirac}\) 时，\(|E-E_{dirac}|^{-1/2}\) 分情况讨论，电流值为

\[I_{thermal} == \int^{+\infty}_{\Phi_B}dE = \int^{+\infty}_{E_{dirac}}dE + \int^{E_{dirac}}_{\Phi_B}dE \]

\[==\int^{+\infty}_{E_{dirac}}(E-E_{dirac})^{-1/2}e^{-E/k_BT}dE + \int^{E_{dirac}}_{\Phi_B}(E_{dirac}-E)^{-1/2}e^{-E/k_BT}dE \]

附录积分公式 (参考链接)

  1. \[\int (x-b)^0e^{-x/a}dx = -ae^{-x/a} \]

  2. \[\int (x-b)e^{-x/a}dx = -(ax-ab+a^2)e^{-x/a} \]

\[\int (b-x)e^{-x/a}dx = (ax-ab+a^2)e^{-x/a} \]

  1. \[\int (x-b)^2e^{-x/a}dx = -(ax^2+(2a^2-2ab)x+ab^2-2a^2b+2a^3)e^{-x/a} \]

  2. \[\int (x-b)^{1/2}e^{-x/a}dx = -\frac{1}{2}*e^{-\frac{x+b}{a}}\left(2ae^{\frac{b}{a}}\sqrt{x-b}-\sqrt{\pi}a^{3/2}e^{\frac{x}{a}} \mathbf{erf}(\sqrt{\frac{x-b}{a}})\right) \]

\[\int (b-x)^{1/2}e^{-x/a}dx = -\frac{1}{2}*e^{-\frac{x+b}{a}}\left(2ae^{\frac{b}{a}}\sqrt{b-x}+i\sqrt{\pi}a^{3/2}e^{\frac{x}{a}} \mathbf{erf}(i\sqrt{\frac{b-x}{a}})\right) \]

这里的 \(\mathbf{erf}\) 是误差函数:

\[erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^{x}_0 e^{-y^2} dy. \]

所以 \(\mathbf{erf}(0)=0,\mathbf{erf}(\infty)=1\) 且 \(i\mathbf{erf}(ix)=-\mathbf{erf}(x)\).

  1. \[\int (x-b)^{-1/2}e^{-x/a}dx = \sqrt{\pi}a^{1/2}e^{-\frac{b}{a}}\mathbf{erf}(\sqrt{\frac{x-b}{a}}) \]

\[\int (b-x)^{-1/2}e^{-x/a}dx = i\sqrt{\pi}a^{1/2}e^{-\frac{b}{a}}\mathbf{erf}(i\sqrt{\frac{b-x}{a}}) \]

Python 计算脚本

  1. \(D(E)=D_0|E-E_{dirac}|^0\) 例子
点击查看代码 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def current1(phi_b):
	tmp = math.exp(-phi_b/KT)
	return math.log(KT*tmp)

def current2(phi_b):
	tmp = math.exp(-phi_b/KT)
	return math.log(KT*tmp)

def derivative(f,x,deltax=0.1**10):
	return (f(x+deltax)-f(x))/deltax

def main():
	phiB = np.linspace(0,0.6,2000)
	phi_B, SS = [], []
	for i in phiB:
		if i > E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current1,i)))
		elif i < E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current2,i)))

	plt.plot(phi_B,SS)
	plt.xlim([0,0.6])
	plt.ylim([0,200])
	plt.title('$D(E) \\approx |E-E_{dirac}|^0$')
	plt.show()

if __name__ == '__main__': 
	KT = 0.026
	E_dirac = 0.3
	main()
  1. \(D(E)=D_0|E-E_{dirac}|\) 例子
点击查看代码 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def current1(phi_b):
	tmp = (phi_b + KT -E_dirac)*math.exp(-phi_b/KT)
	return math.log(KT*tmp)

def current2(phi_b):
	tmp = 2*KT*math.exp(-E_dirac/KT) + (-phi_b - KT +E_dirac)*math.exp(-phi_b/KT)
	return math.log(KT*tmp)

def derivative(f,x,deltax=0.1**10):
	return (f(x+deltax)-f(x))/deltax

def main():
	phiB = np.linspace(0,0.6,2000)
	phi_B,SS = [],[]
	for i in phiB:
		if i > E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current1,i)))
		elif i < E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current2,i)))

	plt.plot(phi_B,SS)
	plt.xlim([0,0.6])
	plt.ylim([0,200])
	plt.title('$D(E) \\approx |E-E_{dirac}|$')
	plt.show()

if __name__ == '__main__':
	KT = 0.026
	E_dirac = 0.3
	main()
  1. \(D(E)=D_0|E-E_{dirac}|^2\) 例子
点击查看代码 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def current(x):
	# tmp = (2*(phi_b-E_dirac)*(KT)**2 + 2*(KT)**3 + KT*(phi_b-E_dirac)**2)*math.exp(-phi_b/KT)
	tmp = (a*x**2+(2*a**2-2*a*b)*x+a*b**2-2*a**2*b+2*a**3)*math.exp(-x/a)
	return math.log(tmp)

def derivative(f,x,deltax=0.1**10):
	return (f(x+deltax)-f(x))/deltax

def main():
	phiB = np.linspace(0,0.6,2000)
	phi_B,SS = [],[]
	for i in phiB:
		phi_B.append(i)
		SS.append(-60/(KT*derivative(current,i)))

	with open('dat.txt','w') as f:
		for i in range(len(phi_B)):
			f.write('{}  {}\n'.format(phi_B[i],SS[i]))

	plt.plot(phi_B,SS)
	plt.xlim([0,0.6])
	plt.ylim([0,200])
	plt.title('$D(E) \\approx |E-E_{dirac}|^2$')
	plt.show()

if __name__ == '__main__':
	KT = 0.026
	E_dirac = 0.3
	a = KT
	b = E_dirac
	main()
  1. \(D(E)=D_0|E-E_{dirac}|^{1/2}\) 例子
点击查看代码 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def current1(phi_b):
	tmp1 = math.exp(-(phi_b+b)/a)
	tmp2 = ((phi_b-b)/a)**0.5
	tmp = math.pi**0.5*a**1.5*math.exp(-b/a) +tmp1*(2*a*math.exp(b/a)*(phi_b-b)**0.5 - math.pi**0.5*a**1.5*math.exp(phi_b/a)*math.erf(tmp2))
	return math.log(tmp/2)

def current2(phi_b):
	tmp1 = math.exp(-(phi_b+b)/a)
	tmp2 = ((b-phi_b)/a)**0.5
	tmp = math.pi**0.5*a**1.5*math.exp(-b/a) +tmp1*(2*a*math.exp(b/a)*(b-phi_b)**0.5 - math.pi**0.5*a**1.5*math.exp(phi_b/a)*math.erf(tmp2))
	return math.log(tmp/2)

def derivative(f,x,deltax=0.1**10):
	return (f(x+deltax)-f(x))/deltax

def main():
	phiB = np.linspace(0,0.6,2000)
	phi_B,SS = [],[]
	for i in phiB:
		if i > E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current1,i)))
		elif i < E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current2,i)))

	plt.figure()
	plt.plot(phi_B,SS)
	plt.ylim([0,200])
	plt.title('$D(E) \\approx |E-E_{dirac}|^{1/2}$')
	plt.xlim([0,0.6])
	plt.show()

if __name__ == '__main__':
	KT = 0.026
	E_dirac = 0.3
	b = E_dirac
	a = KT
	main()
  1. \(D(E)=D_0|E-E_{dirac}|^{-1/2}\) 例子
点击查看代码 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def current1(phi_b):
	tmp1 = (a*math.pi)**0.5*math.exp(-b/a)
	tmp2 = ((phi_b-b)/a)**0.5
	tmp = tmp1-tmp1*math.erf(tmp2)
	return math.log(tmp)

def current2(phi_b):
	tmp1 = (a*math.pi)**0.5*math.exp(-b/a)
	tmp2 = ((b-phi_b)/a)**0.5
	tmp = tmp1+tmp1*math.erf(tmp2)
	return math.log(tmp)

def derivative(f,x,deltax=0.1**10):
	return (f(x+deltax)-f(x))/deltax


def main():
	phiB = np.linspace(0,0.6,2000)
	phi_B,SS = [],[]
	for i in phiB:
		if i > E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current1,i)))
		elif i < E_dirac:
			phi_B.append(i)
			SS.append(-60/(KT*derivative(current2,i)))

	plt.figure()
	plt.plot(phi_B,SS)
	plt.xlim([0,0.6])
	plt.ylim([0,200])
	plt.title('$D(E) \\approx |E-E_{dirac}|^{-1/2}$')
	plt.show()

if __name__ == '__main__':
	KT = 0.026
	E_dirac = 0.3
	b = E_dirac
	a = KT
	main()

部分推导笔记

posted @ 2022-07-16 22:56  ghzphy  阅读(2515)  评论(0)  编辑  收藏  举报