Codeforces Round #688(Div 2) D. Checkpoints

题目链接：https://codeforces.com/contest/1453/problem/D

思路

第一步，先推导1,0,0,……，0，就是1后面跟了n-1个0的时候
所需要的期望步数

封闭式推导

$f_n$代表从n关开始直接通关需要的步数的期望
n为1的情况，即就只有一个1
$f_1=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)$
整理得$f_1=2$
第一关时，你有一半的概率通关，有一半的概率回到自身重新开始
n为2的情况，1,0
$f_1=\cfrac{1}{2} \times(f_1+1)+\cfrac{1}{2} \times (f_2+1)$
$f_2=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)$
整理得$f_1=6$
第一关时，你有一半的概率到达第二关，有一半的概率回到自身重新开始
第二关时，你有一半的概率通关，有一半的概率回到第一关重新开始
这样我们就可以进行归纳总结
把每个式子化简一下
$f_1=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_2+1$
$f_2=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_3+1$
$f_3=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_4+1$
……
$f_i=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_{i+1}+1$
……
$f_n=\cfrac{1}{2} f_1+1$
然后自己整理一下，就是两个等比数列的和
就得到了$f_1$的封闭式
对于任意情况的n时，$f_1=2^{n+1}-2$

思路推进

推导出1,……，0,0的期望公式之后，我们如果再后面继续添加1,0,……，0这样一个序列
那么他的期望是直接相加的，因为他是一个复活点（检查点），跟你前面的序列一点关系都没有
所以你无论怎么增加都是一个2的倍数，这样也就得到奇数的时候是无解的

代码实现