权值线段树

预备知识

学习权值线段树的预备知识，就是线段树，如果没有学过线段树，推荐先看完线段树，再回来看本文章

权值线段树

• 顾名思义，权值线段树是一颗线段树，但是又和普通的线段树不一样
• 线段树：每个节点用来维护一个区间的最大值或者总和，等等
• 权值线段树：与桶排序具有一定的相似性，每个节点相当于一个桶，用来表示一个区间的数出现的次数

相关问题

• 根据定义可以知道，我们可以用它快速计算一段区间的数的出现次数，或者是维护
• 当然他还有一个极其有用的功能，快速查找区间的第$k$大值或第$k$小值
• 这边的节点，与桶排序中的桶极其相似

相关操作

添加

• 和普通线段树类似，递归到叶子节点时给$f[v]+=1$
• 以下代码要添加的数是x，也就是x出现的次数+1；

void add(int l, int r, int v, int x)
{
	if (l == r) f[v]++;
	else
	{
		int mid = (l + r) / 2;
		if (x <= mid) add(l, mid, v * 2, x);
		else add(mid + 1, r, v * 2 + 1, x);
		f[v] = f[v * 2] + f[v * 2 + 1];
	}
}

查找一个数出现的次数

• 递归到叶节点是，$f[v]$即为所求值
• 下面为寻找数$x$的出现次数的代码

int find(int l, int r, int v, int x)
{
	if (l == r) return f[v];
	else
	{
		int mid = (l + r) / 2;
		if (x <= mid) return find(l, mid, v * 2, x); 
		else return find(mid + 1, r, v * 2 + 1, x);
	}
}

查询一段区间的数的出现次数

• 与线段树查询同理，不断的二分递归
• 以下的代码为查询区间[x,y]出现的次数

int find(int l, int r, int v, int x, int y)
{
	if (l == x && r == y) return f[v];
	else
	{
		int mid = (l + r) / 2;
		if (y <= mid) return find(l, mid, v * 2, x, y);
		else if (x > mid) return find(mid + 1, r, v * 2 + 1, x, y);
		else return find(l, mid, v * 2, x, mid) + find(mid + 1, r, v * 2 + 1, mid + 1, y);
	}
}

查询所有数的第k大值

• 还是先温故那句话：每个节点都是一个桶！这句话很重要
• 这是权值线段树的核心，思想如下：
• 到每个节点时，如果右子树的总和大于等于$k$，说明第$k$大值出现在右子树中，则递归进右子树；否则说明此时的第$k$大值在左子树中，则递归进左子树，注意：此时要将$k$的值减去右子树的总和。
• 为什么要减去？
• 假设我们要寻找的是第7大的值，右子树的总和为4，$7-4=3$，那么说明第7大值在左子树中是第3大值
• 最后递归到只有一个数时，那个数就是答案

int kth(int l, int r, int v, int k)
{
	if (l == r) return l;
	else
	{
		int mid = (l + r) / 2, s1 = f[v * 2], s2 = f[v * 2 + 1];
		if (k <= s2) return kth(mid + 1, r, v * 2 + 1, k); 
		else return kth(l, mid, v * 2, k - s2);
	}
}

总结

• 这些就是权值线段树的基本应用了
• 掌握这些之后你就可以进一步学习主席树了