BUPT训练随笔(BUPT '21 WINTER #13: rng_58）
久违的开坑复习啦！
Problem A. 2016（在这里就写上K-magic题解好了）
是道有趣的题，是前两场比赛的题目的弱化版（K-magic）。我们可以发现，如果一个数x由<p的质因子构成，而且他是K-magic数，那么x*p^c仍然是K-magic，因为他们所有因子的系数都乘上了(c+1)。我们不妨从这个地方入手。
很“容易”发现，非K-magic数是很少的
那么我们就考虑筛出非K-magic数。我们一开始将1加入队列，然后依次枚举质数p,考虑新数列中，大于当前数x的因数的数有几个，如果>K，则不需要加入队列，否则继续加入队列，直到队列的数不在减少。我们发现当p不断增大的时候，加入一个比较大的质数p不会让数列发生改变，经测试，我们发现当p=293时，数列不会发生浮动。而非Kmagic数在5w左右，这样我们就本题处理的时候就可以直接输出第i个k-magic数。而对于K-magic本题，我们考虑二分。不妨假设我们枚举数列中的第i个数作为最后一个数，那么n必须>a[i]-i，这样才能在塞入i个非K-magic数，这样二分check即可。
Problem B. Airports
这题也是道神题。
考试的时候是用曼哈顿距离最小生成树的结论直接做的。这题直接8个方向换成最大生成树。但是这个做法我至今都不会证。
正解说是曼哈顿距离转换为切比雪夫距离，然后Boruvka 算法，用set维护，每次找.begin即可，复杂度大常数nlog 似乎也不难写
Problem C. Jump
这题同样是神题。
队友想的神奇结论www
我们考虑一下S->a->T发生了什么 假设2*a-S=T，那么2*a=S+T，或者是S=T,即0=T-S，那么不论s,t如何选择，我们总能看成0->|t-s|或0->t+s
那么只要跑一次最短路就好了，只是建图的时候我建的是-20000~20000，我也不知道有没有超出边界还能跑出答案的。
Problem D. Merge（不会.jpg）
搬来了题解（怎么复制过来只有latex...）
给定两个长度为 n 的排列 P,Q，求将他们归并后能够形成多少个本质不同的序列。
$n \leq 2 \times 10^3$。
题解
令 $f_{i,j}$ 为 P 中选了前 i 个数，Q 中选了前 j 个数，能够形成的本质不同序列个数。则显然可以由下面这个递推式得到：
$f_{i,j} = f_{i-1,j} + f_{i,j-1} - \sum_{k=1}^{\operatorname{lcp}(i,j)} f_{i-k,j-k} \times g_{k}$
其中 $g_k$ 是容斥系数。这相当于将两个长度为 k 的排列 $\{1,2,3 \cdots k\}$ 合并在一起，且不存在一个长度为 2i 的后缀满足能够表示为两个长度为 i 的排列 $\{1,2,3 \cdots i\}$ 合并在一起。注意到这就是卡特兰数，即 $g_k = C_{k-1}$。
拉一个卡特兰数的递推式：
$C_n = \begin{cases} 1 & (n = 0 \lor n = 1) \\ \sum_{0 \leq j < n} C_j C_{n-j-1} & \text{otherwise} \\ \end{cases}$
Problem E. Mirror Rice Cake
排序送分，应该没有人不会吧
Problem F. Number Cards
我们可以发现n个点所属区间的分类最多不超过n种，即数论分块，我们考虑每次数论分块后check，统计答案即可。卡卡常就可以过去了wwww每次for一遍n个点，找整除分块的最小分界点即可，这样复杂度是Onlogn*n*sqrt(1e9)
Problem G. Paint（不会！）
Problem H. Random Walk（暂留）
这题是神题啊！究极神题.jpg
我们可以先搞出n步都不重复经过格子的结果，然后再进行容斥。我们考虑一个格子重复经过两次是什么情况，那么无非就是走了一个长度为k的环，所以我们只需要统计这样的环的个数即可
我们先考虑如何计算出走长度为k且不重复的方案数fk
我们考虑辅助函数dk表示走k步回到原点，不考虑是否重复方案数
那么可以通过容斥f[i]=d[i]-d[j]*f[i-j]得到答案
最后经过ans-=fi*(n-i+1)（枚举环是从哪一步开始的）
即可获得答案
Problem I. Robots
这题是比较有趣的，首先显然可以离散建图，然后我们发现如果按照方向分解的话，最劣会出现n^2条边，我们考虑同一条线上的同一个方向的两个机器人，<-a....<-b显然a左边的点只需要连接到a即可，连接到b是没有必要的。那么边数就降到的On，直接最短路就完事了
Problem J. Ropes
prufer裸题，这么送分不会有人不会做把
Problem K. Stains
看完题解仍然觉得很神，还是留个链接吧
Problem L. String Modification
直接DP就完事了，反正巨简单
Problem M. Team Competition（不会）
