[笔记] 线段树的兄弟姐妹们

0.树状数组

常数极小，只能做前缀和，不过可以通过一些技巧让它做很多事情

比如，支持区间修改，区间查询： 

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

inline int rd(){
  int ret=0,f=1;char c;
  while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1;
  while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
  return ret*f;
}

const int MAXN = 100005;

typedef long long ll;

int n,m;
int t1[MAXN],t2[MAXN];
int querys(int x){
  int ret=0;
  for(int i=x;i;i-=i&-i)ret+=(x+1)*t1[i]-t2[i];
  return ret;
}
int query(int l,int r){
  return querys(r)-querys(l-1);
}
void updates(int x,int w){
  for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)t1[i]+=w,t2[i]+=x*w;
}
void update(int l,int r,int w){
  updates(l,w);updates(r+1,-w);
}
int main(){
    n=rd();m=rd();
    int q,x,y,z;
    for(register int i=1;i<=n;i++)update(i,i,rd());
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        q=rd();x=rd();y=rd();
        if(q==1) z=rd(),update(x,y,z);
        else cout<<query(x,y)<<endl;
    }
    return 0;
}

1.静态线段树

利用线段树是二叉树的性质，可以用二进制方便地找到左右儿子，缺点是本身值域不好扩充

2.动态线段树

类似平衡树，为用到的点开空间，数组大概开到O(nlogn)，非常好写

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

inline int rd(){
  int ret=0,f=1;char c;
  while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1;
  while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
  return ret*f;
}

const int MAXN=5000005;
const int MOD=1e9+7;

typedef long long ll;
ll val[MAXN],add[MAXN];
int ch[MAXN][2],tot;
inline int newnode(){return ++tot;}
inline void pushup(int cur){val[cur]=val[ch[cur][0]]+val[ch[cur][1]];}
inline void up(ll &x,ll y){(x+=y);x%=MOD;}
inline void pushdown(int cur,int l,int r){
  int mid=l+r>>1;
  add[ch[cur][0]]+=add[cur];
  add[ch[cur][1]]+=add[cur];
  val[ch[cur][0]]+=add[cur]*(mid-l+1);
  val[ch[cur][1]]+=add[cur]*(r-mid);
  add[cur]=0;
}
void update(int L,int R,int &cur,int l,int r,ll w){
  if(!cur)cur=newnode();
  if(L<=l&&r<=R){val[cur]+=w*(r-l+1);add[cur]+=w;return;}
  pushdown(cur,l,r);
  int mid=l+r>>1;
  if(L<=mid) update(L,R,ch[cur][0],l,mid,w);
  if(mid< R) update(L,R,ch[cur][1],mid+1,r,w);
  pushup(cur);
}
ll query(int L,int R,int cur,int l,int r){
  if(!cur)cur=newnode();
  if(L<=l&&r<=R)return val[cur];
  pushdown(cur,l,r);
  int mid=l+r>>1;ll ret=0;
  if(L<=mid)ret+=query(L,R,ch[cur][0],l,mid);
  if(mid <R)ret+=query(L,R,ch[cur][1],mid+1,r);
  return ret;
}

int n,m;

int main(){
  n=rd();m=rd();
  int rt=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    update(i,i,rt,1,n,rd());
  int q,x,y,w;
  for(int i=1;i<=m;i++){
    q=rd();x=rd();y=rd();
    if(q==1){w=rd();update(x,y,rt,1,n,w);}
    else{printf("%lld\n",query(x,y,rt,1,n));}
  }
  return 0;
}

3.线段树二分

类似平衡树找第k大，维护子树size信息

4.线段树合并

常用在权值线段树上（维护一个可重集合），有一个merge操作，实现nlogn合并两颗线段树

实际操作中，常是父节点合并子节点，可以不新建子节点，直接合并到父亲上，具体情况具体分析。

int merge(int u,int v){
  if(!u)return v;
  if(!v)return u;
  int t=newnode();
  val[t]=val[u]+val[v];
  ch[t][0]=merge(ch[u][0],ch[v][0]);
  ch[t][1]=merge(ch[u][1],ch[v][1]);
}

5.线段树分治

谜