素数专题

欧拉筛，O（线性） 

考虑三个地方，即可筛出积性函数f(x):

1.x为素数

2.p不整除于x 

3.p整除于x(break)

#include<iostream>
#define MAXN 200000
using namespace std;


int prime[MAXN];
bool istprime[MAXN];
void makePrime(int num){
    int cnt=0;
    istprime[1]=1;
    for(int i=2;i<=num;i++){
        if(!istprime[i])  prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;prime[j]*i<=num&&j<=cnt;j++){
            istprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    makePrime(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!istprime[i]) cout<<i<<" ";
}

 

• [x] 唯一分解定理 有素数表复杂度在lnn，没有则sqrt(n)

• [x] 威尔逊定理 

• [x] 费马小定理

• 设p为素数，a为正整数，若GCD(p,a)==1,则a^(p-1)≡1 MOD p

欧拉函数
1. 若p为素数，则E(p)=p-1;
2. E(p)<=p-1,当且仅当p为素数取等号;
3. E为积性函数
4. 若n=p1^α1 * p2^α2 * … pk^αk，则有E(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pn);

线性筛欧拉函数表（略加改动的线性筛素数）

//Writer:GhostCai && His Yellow Duck

#include<iostream>
#define MAXN 200000
using namespace std;


int prime[MAXN];
bool istprime[MAXN];
int phi[MAXN];
void makePrime(int num){
    int cnt=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=num;i++){
        if(!istprime[i])  prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;prime[j]*i<=num&&j<=cnt;j++){
            istprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }

    }
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    makePrime(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<phi[i]<<endl;
}

• [ ] 欧拉定理
• [x] Miller-Rabin素数测试
• [ ] Pollard Rho算法