[BZOJ] 1911 [Apio2010]特别行动队

题目描述
你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如 (i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k) 的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=x 
i
​    +x 
i+1
​    +...+x 
i+k
​    。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x':x'= ax^2+bx+cx 
′
 :x 
′
 =ax 
2
 +bx+c ，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x 
1
​    =2,x 
2
​    =2,x 
3
​    =3,x 
4
​    =4 。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式
输入格式：
输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 x_1, x_2, …, x_nx 
1
​    ,x 
2
​    ,…,x 
n
​     ，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：
输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

输入输出样例
输入样例#1： 
4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 
输出样例#1： 
9
说明
20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

斜率dp，很裸，总结了一点经验。

含有g(i)*g(j)的转移方程可以考虑斜率优化

展开后，把ij合项中的j拆出来当x，剩下的部分当k，然后把j有关的量提出来作为y，剩余的作为b。

只是目前的经验，可能不正确，会及时修改的。

正好横坐标单增，k单减，可以单调队列维护。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define k(A) (2*a*s[A])
#define x(A) s[A]
#define b(A) (f[A]-a*s[A]*s[A]-b*s[A]-c)
#define y(A) (f[A]+a*s[A]*s[A]-b*s[A])
#define slope(i,j) (1.0*(y(i)-y(j))/(x(i)-x(j)))
using namespace std;

inline int rd(){
    int ret=0,f=1;char c;
    while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1;
    while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*f;
}

const int MAXN=1000005;
long long f[MAXN],s[MAXN];
int q[MAXN],n,a,b,c;

int main(){
    cin>>n>>a>>b>>c;
    s[0]=q[0]=f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){s[i]=s[i-1]+rd();}
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])>k(i)) head++;
        f[i]=-(k(i)*x(q[head])-y(q[head])-a*s[i]*s[i]-b*s[i]-c);
        while(head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])<=slope(q[tail],i)) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n]<<endl;
}