【笔记】辐射场

Radiance Fields

The Radiance Field – Nathan Reed’s coding blog (reedbeta.com)
CMU 15462 Slide
Neural Radiance Fields (NeRF)

前置知识

目的

量化光的测量

如何量化光强

对于一些光子：

• Radiant energy: 碰撞总数
• Radiant flux: 每秒碰撞数
• Irradiance: 每秒每单位面积碰撞数

不同的光子碰撞，贡献不同，如何量化？

• Radiant energy:

$$Q=\dfrac{hc}{\lambda}$$

h和c是常数，只有$\lambda$要关注，它也代表了颜色

• Radiant flux:

  $$\Phi = \lim\limits_{\Delta \to 0} \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{dQ}{dt}$$

• Irradiance:

  The average flux

  $$\dfrac{\Phi}{A}$$
  $$E(p)=\lim\limits_{\Delta\to0}\dfrac{\Delta\Phi(p)}{\Delta A}=\dfrac{d\Phi(p)}{dA}$$

如何量化颜色

描述irradiance per unit wavelength

单位时间单位面积单位波长的能量

Lambert's Law

斜着照，用正交投影面积

$$E=\dfrac{\Phi}{A'}=\dfrac{\Phi}{A\cos\theta}$$

简单光照

单位光线向量和平面单位法向量内积，即为光强

（通常）把光源放到无穷远，得到平行光

对于点光源，其irradiance与平方成反比（类似高斯定理？）

立体弧度

一个圆有$2\pi$​个弧度

弧度$\theta = \dfrac{L}{r}$

一个球有$4\pi$​个弧度

立体弧度$\Omega = \dfrac{A}{r^2}$

Radiance是irradiance的立体弧度密度

$$L(p,\omega) = \lim\limits_{\Delta\to 0}\dfrac{\Delta E_\omega(p)}{\Delta \omega}=\dfrac{dE_\omega(p)}{d\omega}$$

定义

辐射场是一个五维函数

$$L: \mathbb R^3 \times S^2 \to \mathbb R^3$$

左边的$\mathbb R^3$是三维空间，$S^2$​是球坐标下的视角

右边的$\mathbb R^3$​​是线性RGB空间

所以，辐射场是这样的一个五维函数：

$$L(x,y,z,\theta,\phi) = (r,g,b)$$

亦可以写成向量形式

$$L(\mathbf x,\mathbf \omega) = (r,g,b)$$

$\mathbf x$是位置向量，$\mathbf \omega$​是视角的单位向量​

也就是说，Radiance是一条沿着方向$\omega$的光线通过点$p$的能量

*渲染方程

$$L_0(\mathbf x,\mathbf \omega) = L_e(\mathbf x,\mathbf \omega) + \int_\Omega f_r(\mathbf x,\mathbf d,\mathbf \omega_i)L_i(\mathbf x,\mathbf w_i)cos\theta d\omega_i$$

一点$\mathbf x$的辐射$L_0$由两部分组成，一部分是自己发出的$L_e$(emit)，另一部分是该点折射在方向$\mathbf d$上的辐射

其中$\Omega$​为入射方向$\omega_i$的半球集，$f_r$为散射函数，$L_i$为$\omega_i$方向的辐射，$\theta$为$\omega_i$和$\mathbf d$的夹角