【笔记】辐射场

Radiance Fields

The Radiance Field – Nathan Reed’s coding blog (reedbeta.com)
CMU 15462 Slide
Neural Radiance Fields (NeRF)

前置知识

目的

量化光的测量

如何量化光强

对于一些光子：

• Radiant energy: 碰撞总数
• Radiant flux: 每秒碰撞数
• Irradiance: 每秒每单位面积碰撞数

不同的光子碰撞，贡献不同，如何量化？

• Radiant energy:

\[Q=\dfrac{hc}{\lambda} \]

h和c是常数，只有\(\lambda\)要关注，它也代表了颜色

• Radiant flux:

  \[\Phi = \lim\limits_{\Delta \to 0} \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\dfrac{dQ}{dt} \]

• Irradiance:

  The average flux

  \[\dfrac{\Phi}{A} \]
  \[E(p)=\lim\limits_{\Delta\to0}\dfrac{\Delta\Phi(p)}{\Delta A}=\dfrac{d\Phi(p)}{dA} \]

如何量化颜色

描述irradiance per unit wavelength

单位时间单位面积单位波长的能量

Lambert's Law

斜着照，用正交投影面积

\[E=\dfrac{\Phi}{A'}=\dfrac{\Phi}{A\cos\theta} \]

简单光照

单位光线向量和平面单位法向量内积，即为光强

（通常）把光源放到无穷远，得到平行光

对于点光源，其irradiance与平方成反比（类似高斯定理？）

立体弧度

一个圆有\(2\pi\)​个弧度

弧度\(\theta = \dfrac{L}{r}\)

一个球有\(4\pi\)​个弧度

立体弧度\(\Omega = \dfrac{A}{r^2}\)

Radiance是irradiance的立体弧度密度

\[L(p,\omega) = \lim\limits_{\Delta\to 0}\dfrac{\Delta E_\omega(p)}{\Delta \omega}=\dfrac{dE_\omega(p)}{d\omega} \]

定义

辐射场是一个五维函数

\[L: \mathbb R^3 \times S^2 \to \mathbb R^3 \]

左边的\(\mathbb R^3\)是三维空间，\(S^2\)​是球坐标下的视角

右边的\(\mathbb R^3\)​​是线性RGB空间

所以，辐射场是这样的一个五维函数：

\[L(x,y,z,\theta,\phi) = (r,g,b) \]

亦可以写成向量形式

\[L(\mathbf x,\mathbf \omega) = (r,g,b) \]

\(\mathbf x\)是位置向量，\(\mathbf \omega\)​是视角的单位向量​

也就是说，Radiance是一条沿着方向\(\omega\)的光线通过点\(p\)的能量

*渲染方程

\[L_0(\mathbf x,\mathbf \omega) = L_e(\mathbf x,\mathbf \omega) + \int_\Omega f_r(\mathbf x,\mathbf d,\mathbf \omega_i)L_i(\mathbf x,\mathbf w_i)cos\theta d\omega_i \]

一点\(\mathbf x\)的辐射\(L_0\)由两部分组成，一部分是自己发出的\(L_e\)(emit)，另一部分是该点折射在方向\(\mathbf d\)上的辐射

其中\(\Omega\)​为入射方向\(\omega_i\)的半球集，\(f_r\)为散射函数，\(L_i\)为\(\omega_i\)方向的辐射，\(\theta\)为\(\omega_i\)和\(\mathbf d\)的夹角