[笔记] 中世纪反演魔法

二项式反演

\[\begin{cases} F(n) =\sum\limits_{i=0}^n\mathbf C_n^iG(i)\\ G(n) =\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\mathbf C_n^iF(i) \end{cases} \]

单位根反演

\[[n|a]=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega_n^{ak} \]

可以导出

\[[a\equiv b\pmod n]=[a-b\equiv0\pmod n]=[n|(a-b)]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n-1}\omega_n^{k(a-b)}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n-1}\omega_n^{ak}\omega_n^{-bk} \]

Min-Max反演

\[\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]