二叉树基本原理

二叉树，是度为二的树，二叉树的每一个节点最多只有二个子节点，且两个子节点有序。

下面开始介绍几种常见的二叉树类型：

1. 完全二叉树

若设二叉树的深度为k，除第k层外，其他各层（1～（k-1）层）的节点数都达到最大值，且第k层所有的节点都连续集中在最左边，这样的树就是完全二叉树。如图：

(图片仅参考网友，侵删)

完全二叉树是一种效率很高的数据结构，而堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，因此堆的效率也很高；像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性是基于完全二叉树的。

（以上摘自：https://www.jianshu.com/p/6a30657bf894）

2. 满二叉树

满二叉树的定义分两种：国内定义和国外（国际）定义。

国内定义：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。如图：

国外（国际）定义：如果一棵二叉树的结点要么是叶子结点，要么它有两个子结点，这样的树就是满二叉树。(一棵满二叉树的每一个结点要么是叶子结点，要么它有两个子结点，但是反过来不成立，因为完全二叉树也满足这个要求，但不是满二叉树)，如图：

当然，不难看出，国外（国际）的定义已经包含了国内的定义了，也就是国内的定义是国外定义的子集。

（以上摘自：https://baike.baidu.com/item/满二叉树/7773283?fr=aladdin）

3. 二叉查找树（BST）

二叉查找树，又称二叉排序树，二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

• 若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
• 若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
• 左、右子树也分别为二叉排序树；
• 没有键值相等的节点。

4. 平衡二叉树（AVL）

平衡二叉树实际上也是一个二叉查找树，但是又和二叉查找树有所不同。平衡二叉树包括了二叉查找树的所有特性，但与二叉查找树不同的是，平衡二叉树的平衡因子不能超过1。

意思是说，要么它是一棵空树，要么它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

在网上找了很多关于平衡二叉树的文章，都只阐述了以上原理，但是什么是平衡因子？下面就这点详细的介绍一下，如图：

a树的根节点是节点5，节点5的深度为4，所以a树的深度为4，下面计算所有节点的平衡因子：

1. 节点5，左子树深度为3，右子树深度为2，那么，节点5的平衡因子为|3-2|=1；
2. 节点2，左子树深度为1，右子树深度为2，平衡因子为|1-2|=1；
3. 节点6，无左子树，故左子树深度为0，右子树深度为1，平衡因子为|0-1|=1；
4. 节点1，无左子树和右子树，故左右子树的深度均为0，平衡因子为|0-0|=0；
5. 节点4，左子树深度为1，无右子树，故右子树深度为0，平衡因子为|1-0|=1；
6. 节点7，无左子树和右子树，故左右子树的深度均为0，平衡因子为|0-0|=0；
7. 节点3，无左子树和右子树，故左右子树的深度均为0，平衡因子为|0-0|=0；

通过上述计算，得到a树的所有节点的平衡因子，均没有超过1，所以a树是一个平衡二叉树。同理计算得到b树是一个二叉查找树，但不是一个平衡二叉树。

本文主要记录了各种二叉树的类型，接下来会专门写几篇文章，记录如何通过代码组成各种二叉树，并且对二叉树进行增删查改，虽然网上有很多类似的文章，但是我还是觉得自己写一遍，是另一种理解，感觉这是一个大工程，告诉我自己，坚持下去~~

ps：本文多是从其他地方复制的理论，结合自己的理解，可能并不是特别完整，如果有错误的地方，欢迎指正，谢谢~~