导数和偏导数相关概念和理解

导数

在微积分中，函数的变化率称为导数（derivative）

下表列出了一些真实世界中的例子。

数量	导数
你有多少客户	你新增（或丢失）了多少客户
你走了多远	你移动的速度有多快
浴缸里有多少水	水排出的速度

导数不是一个固定的数字，它本身也会是一个函数，会随着时间或空间变化。

在一趟汽车旅行中，不同的时间的行驶速度可能会有所不同，但是行驶速度始终与汽车所走过的距离有关。如果准确记录所有位置，就可以回过头去观察旅行中的任何一点的速度。这就是导数。

当函数递增时，其导数为正；当函数递减时，其导数为负。下图说明了这个概念。

导数的动画例子

下面是一个动画，给出了一个直观的导数概念，因为参数变化时函数的“摆动”会改变。

x变化时函数 ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin(x^{2})}$（蓝色曲线）的切线变化。

该函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

利用导数来寻找局部极大值（local maximum）或局部极小值（local minimum）

说明了这个概念。有了这些知识，就可以利用导数来寻找局部极大值（local maximum）或局部极小值（local minimum）。

导数为正的任何地方，都可以向右移动一点，并找到更大的值。如果超过极大值，则函数现在必须递减，因此其导数为负。在这种情况下，就应当要向左移动一点。在局部极大值处，导数将精确为零。找到局部极小值的逻辑是相同的，只是需要向相反的方向移动。

偏导数

偏导数就是导数，

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

比如：二元函数$z=f(x,y)$表示一个空间曲面,这个曲面有高有低:

理解$x$偏导函数,在求的时候$y$暂时不变,则相当取任意$y=y0$为截面时,在该截面上的曲线$z=g(x)$ 的导数.注意,此时$y$看作常数。

二阶偏导数

二阶偏导数就是对函数关于同一个自变量连续求两次导数，即$d(dy/dx)/dx$。