常用求导公式

什么是导数？

导数是函数的斜率。

导数与导数函数的区别是什么？

函数 $f(x)$ 的导数函数 $f'(x)$ 是一个函数，它给出了在任意 $x$ 值处的函数斜率。 这表示：如果要求函数在 $x$ 处的斜率，只需要将 $x$ 值代入导数函数 中。

如何计算导数

在发现求导公式之前，人们必须要对每一点求单独求差商。 使用求导公式，一切就变得简单了,常用的导数公式如下：

• 幂函数 $f(x)=x^n$ 的导数函数 $f'(x)=n \times x^{(n-1)}$
• 乘数规则 $f'(a \times x) = a \times f'(x)$
• 求和规则: 函数 $f(x) + g(x)$ 的导数函数 $f'(x) + g'(x)$
• 乘积规则: 函数 $f(x) \times g(x)$ 的导数函数 $f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x)$
• 除法规则: 函数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 的导数函数 $\frac{f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)}{g(x)^2}$
• 链式规则: 函数 $f(g(x))$ 的导数函数 $f'(g(x))*g'(x)$
• 常数的导数是0

参考：导数计算

同济大学编的高等数学上册

偏导数计算

假设 $f$ 是一个多元函数，例如： $z=f(x,y)=x^2 + xy + y^2$

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。

求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。

例如，下面是上述函数$z=f(x,y)=x^2 + xy + y^2$的图像，我们希望求出函数在点（1, 1）的对x的偏导数；

对应的切线与xOz平面平行。

上图显示了该函数在平面y = 1上是什么样的。

我们把变量y视为常数，通过对方程求导，我们可以发现$ƒ$在点$（x, y）$的导数，记为：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y$

于是在点（1, 1）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。