【算法】分治初步

目录

• 定义
• 示例
  • 快速排序
    • 实现
    • 第k小
  • 三分法
  • 归并排序
    • 实现

定义

分治，字面上的解释是“分而治之”，就是把一个问题分成多个的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

示例

快速排序#

把原数组分成左右两段，保证左 $\le$ 右，再对左右分别排序。

实现#

怎么才能让左不大于右呢？

基准值：左/右/中点/随机位置的值。 这么草率？

反正都一样。

对 $[l,r]$ 区间排序：

1. i = l, j = r; 确定基准值x;。
2. i向后走，当 a[i]>x 时停下，j向前走，当 a[j]>x 时停下。
3. if(i < j) swap(a[i], a[j]);。
4. 当i<j时，回到第二步。
5. 对 $[l,j]$ 和 $[i,r]$ 分别递归，直到 l >= r。

$\text{点击查看代码}$

void quick_sort(int l, int r)
{
	int i = l, j = r;
	int x = a[(l+r)/2]; // 基准值（此处取中点，一般建议随机数）
	while(i<=j)
	{
		while(a[i] < x) i++;
		while(a[j] > x) j--;
		// i 表示小于基准值的下标，j 表示大于基准值的下标
		// 找到不满足以上的 a[i], a[j]
		if(i<=j) // 如果 i 在 j 左边，a[i] 和 a[j] 交换
		{
			swap(a[i], a[j]);
			i++,j--; // 防止越界 RE
		}
	}
	if(l<r) // 如果数列可以再分，递归
	{
		quick_sort(l,j);quick_sort(i,r);
	}
}

第k小#

同快速排序。

但我们可以考虑一些神奇的方法。

对 $[l,r]$ 区间排序，找第 $k$ 小：

qsort(l,r,k)
{
	选基准值，做交换。
	if(k <= j) return qsort(l,j,k);
	else if(k >= i) return qsort(i, r, k);
	else return x;
}

$\text{点击查看代码}$

int quick_sort_mink(int l,int r,int k)
{
	int i = l, j = r;
	int x = a[(l+r)/2];
	while(i<=j)
	{
		while(a[i] < x) i++;
		while(a[j] > x) j--;
		if(i<=j)
		{
			swap(a[i],a[j]);
			i++,j--;
		}
	}
	if(k <= j) return quick_sort_mink(l,j,k);
	else if(k >= i) return quick_sort_mink(i,r,k);
	else return x;
}

三分法#

例题：P1883 函数

归并排序#

先对左右子区间排序，然后再把两个有序子区间合并成一个完整区间。

时间复杂度：稳定的 $O(n\log n)$。

实现#

当前区间 $[l,r]$ ：

1. mid=(l+r)/2;
2. 递归 $[l,mid]$ ;
3. 递归 $[mid+1,r]$ ;
4. 合并 $[l,mid],[mid+1,r]$ ;

$\text{点击查看代码}$

void merge_sort(int l, int r)
{
	if(l >= r) return; // 不可再分就不继续了
	int mid = (l+r)/2;
	merge_sort(l, mid);
	merge_sort(mid+1, r);
	// 递归左右区间
	int i = l, j = mid+1; // 从两区间左端点开始
	int cnt = l-1;
	while(i <= mid && j <= r)
	{
		if(a[i] <= a[j]) b[++cnt] = a[i], i++;
		else b[++cnt] = a[j], j++;
		// 把a[i],a[j]更大的那个放进临时数组b[]
	}
	while(i <= mid) b[++cnt] = a[i], i++;
	while(j <= r) b[++cnt] = a[j], j++;
	// 把没放完的放进b[]
	for(int k = l;k <= r;k++) a[k] = b[k];
	// 把b[] 放回原区间
}