【树】并查集，优雅与智慧的结合

为什么我们永远爱并查集？

知乎上有一个问题，问最美的数据结构。不出意外地，大部分人都回答了并查集（还有一部分蹦蹦跳跳的平衡树）。

并查集，一个轻巧的算法。在提高组算法那一坨坨钢铁巨兽一般的代码，这个优雅得如少女一般的算法，怎让人不爱呢？（尤其是对于像我这样的蒟蒻）

并查集在处理集合合并和查找问题上展现出了独特的魅力。虽然其看似朴素，但其背后蕴含的思想和技巧却是极其深刻的。

你好，DSU

在描述并查集的巧妙之处之前，让我们先了解一下它的基本概念。并查集，全名为"Disjoint-Set Union"，简称DSU，是一种用于管理元素分组的数据结构。它有两个主要操作：合并（Union）和查找（Find）。

路径压缩和按秩合并的并查集的时间复杂度是 $O(\alpha (n))$ ，其中 $\alpha (n)$ 是反Ackermann函数。近乎常数的时间复杂度。

Union

当我们有一组元素，需要将其中的两个元素合并在一起时，就可以使用并查集的合并操作。这种操作的背后思想是，将两个元素所在的集合合并成一个，从而实现了元素间的关联。

而在并查集中，合并操作的巧妙之处在于，它通过维护一个森林（可以看作一棵棵树）来实现集合的合并。每个集合对应一棵树，树的根节点代表该集合的代表元素。当两个集合合并时，我们只需要将其中一个集合的根节点连接到另一个集合的根节点上，从而将两棵树合并成一棵。这样的设计使得查找操作变得高效，因为根节点可以作为集合的唯一标识，可以快速确定元素所属的集合。

Find

当我们需要确定一个元素所在的集合时，查找操作会返回该元素所在集合的根节点。这个操作的巧妙之处在于，通过路径压缩和按秩合并等技巧，可以使得整个并查集的树结构保持较低的高度，从而提高了查找操作的效率。

路径压缩是一种策略，它在执行查找操作的同时，将搜索路径上的节点直接连接到根节点，从而减少后续查找的时间。

按秩合并同样，它在合并两个集合时，将节点数较少的树连接到节点数较多的树上，从而维护树的平衡性。这些技巧的应用，使得并查集在实际问题中能够高效地应对各种情况。

她无处不在，她无所不能

除了基本的合并和查找操作，还有一些扩展的应用，使得并查集在解决现实问题中显得更加巧妙。

例如，在图论领域，可以使用并查集来判断图中是否存在环，以及判断两个节点是否连通。

在图像处理中，可以使用并查集来实现连通区域的分割和合并。

在社交网络分析中，可以使用并查集来分析社交网络中的关系群体。

这些应用都充分展现了并查集在不同领域中的巧妙之处，以及其在解决复杂问题时的重要性。

连ChatGPT都说她有哲学意义

在这个数据结构中，我们可以看到集合的合并与划分，就好比人际关系中的交流与隔阂。而通过查找操作，我们可以确定一个元素所在的集合，就如同在现实生活中，我们试图找到自己的归属感和定位。并查集的巧妙之处在于，它通过简单而有效的操作，抽象地展现了人类社会中的种种情感和关系，使得我们在解决计算问题的同时，也能在抽象的层面上感受到人类情感的微妙变化。

—— Chat

最后的最后

为什么我们永远爱并查集？

并查集，优雅与智慧的结合。