【树】树上动态规划

目录

• 引入
• 树形dp
  • 树上递推
    • 先序遍历（关键词：到根）
    • 后序遍历（关键词：子树）
  • 求直径（树上最长路径）
  • 换根DP法
  • 树上背包
• 链式前向星

引入

考虑这样一个问题（P1352 没有上司的舞会）：

一棵树，每个节点 $i$ 都有价值 $v_i$，对于每个子节点，不能和父节点同时选择，求最大价值和。

令 dp[x][0] 为在x的子树中表示i不取时值最大是多少。

令 dp[x][1] 为在x的子树中表示i取时值最大是多少。 选与不选两个状态，升维来保证没有后效性啦~

我们可以用这样一个函数（实际上是dfs）：

void tdp(int x)
{
	for(int i = 0;i < tree[x].size();i++) //遍历儿子
	{
		int y = tree[x][i];
		tdp(y);
		dp[x][0] += max(dp[y][0], dp[y][1]);
		dp[x][1] += dp[y][0];
        }
}

树形dp

树上递推#

在树上递推实现遍历整棵树。 这已经是惯常操作了呢~

先序遍历（关键词：到根）#

例如：

求到根最远的节点？

后序遍历（关键词：子树）#

例如：

如果某个职员的直接上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

求直径（树上最长路径）#

对于树上任意一点X，求出离P最远的点A，在找到离A最远的点B，A到B的路径就是树的直径。

使用反证法：证明过程点这里，感谢这位神犇 是你太懒了吧

这是一个例子

void dfs(int x, int fa)
{
	for(int i = 0;i < g[x].size();i++)
	{
		int y = g[x][i];
		if(y == fa) continue;
		dis[y] = dis[x] + w[x][i];
		dfs(y,x);
	}
}
int main()
{
	...
	dis[1] = 0;
	dfs(1, 0);
	int A = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		if(dis[i] > dis[A]) A = i;
	}
	dis[A] = 0;
	dfs(A,0);
	int B = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		if(dis[i] > dis[B]) B = i;
	}
	cout << dis[B];
	return 0;
}
    

换根DP法#

我们来看这样一道题：市政服务大厅

D市共设有 $N$ 个街区，编号 $1$ ~ $N$；建有 $N-1$ 条双向道路，编号 $1$ ~ $N-1$，其中第 $i$ 条道路长度 $l_i$ ，连接了街区 $a_i$ 与 $b_i$ 。任意两个街区之间有且仅有一条路径。每个街区都常住有一定数量的市民，其中常住于街区 $i$ 的市民共有 $p_i$ 人。这里，市政服务大厅可选址于任意一个街区，但要使选址尽可能地优，就意味着所有常住市民到市政务府大厅的距离之和应尽可能地小（假设只考虑各个街区之间的距离，忽略同一个街区内部的距离）。

到x的总距离：

x子树外的人：到达 fa 后，一起走到x。sz[1] - sz[x]
x子树内的人：到达 fa 后，一起走到x。sz[1] - sz[x]

树上背包#

Wiki

我们来看例题 P2014 选课。

假设 dp[x][j] 表示x为根的子树分配j个名额的最大学分。

dp[x][...] 设为无穷小，dp[x][1] = a[x] 。

标准代码

void dfs(int x)
{
	for(int i = 0;i <= n;i++)
		dp[x][i] = -1e9;
	dp[x][1] = a[x];
	for(int i = 0;i < g[x].size();i++)
	{
		int y = g[x][i];
		dfs(y);
		for(int j = m;j >= 1;j--)
		{
			for(int k = 0;k < j;k++)
			{
				dp[x][j] = max(dp[x][j], dp[x][j-k] + dp[y][k]);
			}
		}
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	m++;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int fa;
		cin >> fa >> a[i];
		g[fa].push_back(i);
	}
	dfs(0);
	cout << dp[0][m];
	return 0;
}
	

链式前向星

点：head[i] 表示第i个点的最后一条边。
边：next[i] 表示第i条边的上一个起点相同的边的序号。
$\text{ . .: }$to[i] 第i条边的上一个起点相同的边的序号。

struct edge
{
    int to, w, nxt; // w是边长
}e[N*2];
int cnt, head[N];
void add(int x, int y, int z)
{
    e[++cnt] = (edge){y, z, head[x]};
    head[x] = cnt;
}
void dfs(int x, int fa)
{
    for(int i = head[x];i;i = e[i].nxt)
    {
        int y = e[i].to;
        if(y == fa) continue;
        dfs(y,x)
    }
}