【树】最小生成树

目录

• 最小生成树（MST）
• Prim 算法
  • 伪代码
  • $O(n^2)$ 写法
  • 堆优化
• Kruskal 算法
• 次小生成树
  • 分类
  • 非严格次小生成树
  • 严格次小生成树

最小生成树（MST）

最小生成树：以最小代价连接所有点

Prim 算法

伪代码#

dis[x];//x到最小生成树的距离

任选起点;dis[x]=∞;dis[起点]=0;
for(i=1->n)
{

1. 在未标记的点中找到dis[]最小的点u;
2. 把u加入最小生成树;（标记u）
3. 枚举u的邻居v：
   if(v不在最小生成树中)
   dis[v]=min(dis[v], u到v边长);

}

$O(n^2)$ 写法#

	memset(dis,999999,sizeof(dis));
	dis[1]=0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int u = 0;
		for(int j = 1;j <= n;j++)
		{
			if(!vis[j]) 
			{
				if(dis[j] < dis[u]) u=j;
			}
		}
		vis[u]=1;
		if(dis[u]>1e9)
		{
			puts("orz");
			return 0;
		}
		for(int j = 0;j < g[u].size();j++)
		{
			int v = g[u][j];
			if(!vis[v])
			{
				dis[v] = min(dis[v], w[u][j]);
			}
		}
	}

堆优化#

memset(dis,999999,sizeof(dis));
	dis[1]=0;
	priority_queue<NODE> q;
	q.push(NODE{1,0});
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		while(!q.empty() && vis[q.top().id]) q.pop();
		if(q.empty()) 
		{
			puts("orz");
			return 0;
		}
		int u = q.top().id; q.pop();
		vis[u] = 1;
		for(int j = 0;j < g[u].size();j++)
		{
			int v = g[u][j];
			if(!vis[v] && dis[v] > w[u][j])
			{
				dis[v] = w[u][j];
				q.push(NODE{v,dis[v]});
			}
		}
	}

Kruskal 算法

从短到长依次取边，如果加入这条边会形成环，那么跳过。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge
{
	int u,v,w;
}e[100010];

bool cmp(edge a, edge b)
{
	return a.w<b.w;
}
int f[10010];
int find(int k)
{
    if(f[k] == k) return k;
    return f[k] = find(f[k]);
}
void merge(int x, int y)
{
	x=find(x),y=find(y);
	if(x==y) return;
	f[y]=x;
}
int main()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w);
		ans += e[i].w;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	int sum = 0;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		if(find(e[i].u) != find(e[i].v))
		{
			merge(e[i].u, e[i].v);
			sum += e[i].w;
		}
	}
	cout << ans - sum;
	return 0;
}

次小生成树

分类#

严格次小生成树：边权和严格小于最小生成树。
非严格次小生成树：非最小生成树剩下的最小生成树。

非严格次小生成树#

枚举最小生成树的边，删掉求最小。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
struct edge
{
	int u,v,w;
}e[100010];
bool vis[100010];
bool cmp(edge a, edge b)
{
	return a.w<b.w;
}
int f[10010];
int find(int k)
{
    if(f[k] == k) return k;
    return f[k] = find(f[k]);
}
void merge(int x, int y)
{
	x=find(x),y=find(y);
	if(x==y) return;
	f[y]=x;
}
long long kruskal(int id)
{
	long long sum = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		if(i == id) continue;
		if(find(e[i].u) != find(e[i].v))
		{
			merge(e[i].u, e[i].v);
			sum += e[i].w;
		}
	}
	return sum;
}
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w);
	}
	long long bef = 0;
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	for(int i = 1;i <= n;i++) f[i] = i;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		if(find(e[i].u) != find(e[i].v))
		{
			merge(e[i].u, e[i].v);
			vis[i] = 1;
			bef+=e[i].w;
		}
	}
	long long ans = 1e18;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		if(vis[i])
		{
			long long now = kruskal(i);
			if(now <= bef) continue;
			ans = min(ans, now);
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

严格次小生成树#

结论：严格次小生成树和最小生成树只有一条边的差距。

int Kruskal(int id) // 返回 跳过第id条边后的最小生成树权值
{

}

	对边排序;
	做一次Kruskal;
	{
		标记选中的边;
	}
	LL ans = 1e18;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		if(i被标记了) continue;
		if(e[i].w > maxDis[])
	}