【图论】最短路

目录

• SPFA
  • SPFA 概述
  • SPFA 代码示例
  • SPFA 判断负环
• Dijkstra
  • Dijkstra 概述
  • Dijkstra 代码示例
  • Dijkstra的DP
• Floyd

SPFA

SPFA : Shortest Path Faster Algorithm

SPFA 概述

SPFA的入队规则：该点的dis变小后，需要入队。
vis[x] x是否在队列中
把dis初始化为无穷大; vis[i] 全部清零
dis[起点]=0;
起点入队;

1. 取出队首x; vis[x] = 0
2. 枚举x的所有邻居y;

注意：和BFS不同

    if(dis[y] > dis[x] + /*边长*/)
    {
        dis[y] = dis[x] + /*边长*/;
        if(vis[y] == 0)
            q.push(y);
    }

SPFA 代码示例

单源最短路（弱化）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
//快乐头文件

vector<int> g[10010]; //图邻接表
vector<int> w[10010]; //边权
int dis[10010]; //最短路径长度
bool vis[10010]; //是否在队中
queue<int> q; //spfa队列

void spfa(int start)
{
	memset(dis, 999999, sizeof(dis));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	dis[start] = 0;
	q.push(start);
	while(!q.empty())
	{
		int x = q.front();
		q.pop();
		vis[x] = 0;
		for(int i = 0;i < g[x].size();i++)
		{
			if(dis[g[x][i]] > dis[x] + w[x][i])
			{
				dis[g[x][i]] = dis[x] + w[x][i];
				if(vis[g[x][i]] == 0)
					q.push(g[x][i]);
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int n, m, s;
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		int u, v, ww;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &ww);
		g[u].push_back(v);
		w[u].push_back(ww);
	}
	spfa(s);
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cout << dis[i] << " ";
	}
	return 0;
}

SPFA 判断负环

某个点入队次数过多，则存在负环

什么是过多？
入队次数 \(≥n\) 次，说明有负环。

vector<int> g[2010]; //图邻接表
vector<int> w[2010]; //边权
int dis[2010]; //最短路径长度
bool vis[2010]; //是否在队中
int cnt[2010];
int n,m;

void spfa(int start)
{
	queue<int> q; //spfa队列
	memset(dis, 999999, sizeof(dis));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	dis[start] = 0;
	q.push(start);
	while(!q.empty())
	{
		int x = q.front();
		q.pop();
		vis[x] = 0;
		for(int i = 0;i < g[x].size();i++)
		{
			if(dis[g[x][i]] > dis[x] + w[x][i])
			{
				dis[g[x][i]] = dis[x] + w[x][i];
				if(vis[g[x][i]] == 0)
				{
					q.push(g[x][i]);
					if(++cnt[g[x][i]] >= n)
					{
						puts("YES");
						return;
					}
					vis[g[x][i]] = 1;
				}
			}
		}
	}
	puts("NO");
	return;
}

Dijkstra

Dijkstra : 迪杰斯特拉算法

Dijkstra 概述

把dis初始化为无穷大;
dis[起点]=0;
for(int i to n)
{
    从集合（vis[u] == 0）中选出dis最小的点u;
    把u从集合移出; vis[u] = 1;
    访问u的所有邻居v;
    if(dis[v] > dis[u] + u到v边长)
        dis[v] = dis[u] + u到v边长;
}

Dijkstra 代码示例

基本写法 \(O(n^2)\)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;

vector<int> g[2510];
vector<int> w[2510];

bool vis[2510];
int dis[2510];
int main()
{
	int n, m, ts, te;
	cin >> n >> m >> ts >> te;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		int u, v, l;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &l);
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
		w[u].push_back(l);
		w[v].push_back(l);
	}
	memset(dis, 999999, sizeof(dis));
	dis[ts] = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int pos = 0;
		for(int j = 1;j <= n;j++)
		{
			if(vis[j]) continue;
			if(dis[j] < dis[pos]) pos = j;
		}
		vis[pos] = 1;
		for(int j = 0;j < g[pos].size();j++)
		{
			int v = g[pos][j];
			if(dis[v] > dis[pos] + w[pos][j])
				dis[v] = dis[pos] + w[pos][j];
		}
	}
	cout << dis[te];
	return 0;
}

堆优化 \(O(m\log m)\)
稠密图：\(O(n^2\log n)\)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;

struct Node
{
	int id, key;
	bool operator < (const Node &y) const
	{
		return key > y.key;
	}
};
vector<int> g[100010];
vector<int> w[100010];
priority_queue<Node> q;

bool vis[100010];
int dis[100010];
int main()
{
	int n, m, ts;
	cin >> n >> m >> ts;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		int u, v, l;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &l);
		g[u].push_back(v);
		w[u].push_back(l);
	}
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[ts] = 0;
	q.push({ts, 0});
	while(!q.empty())
	{
		int u = q.top().id;
		q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u] = 1;
		for(int j = 0;j < g[u].size();j++)
		{
			int v = g[u][j];
			if(dis[v] > dis[u] + w[u][j])
			{
				dis[v] = dis[u] + w[u][j];
				q.push({v, dis[v]});
			}
		}
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cout << dis[i] << " ";
	return 0;
}

Dijkstra的DP

方案数

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;

struct Node
{
	int id, key;
	bool operator < (const Node &y) const
	{
		return key > y.key;
	}
};
vector<int> g[1000010];
priority_queue<Node> q;

bool vis[10000100];
int dis[1000010];
long long f[1000010];
int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	memset(dis, 999999, sizeof(dis));
	dis[1] = 0;
	f[1] = 1;
	q.push({1, 0});
	while(!q.empty())
	{
		int u = q.top().id;
		q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u] = 1;
		for(int j = 0;j < g[u].size();j++)
		{
			int v = g[u][j];
			if(dis[v] > dis[u] + 1) // 水沝淼㵘题
			{
				f[v] = f[u];
				dis[v] = dis[u] + 1;
				q.push({v, dis[v]});
			}
			else if(dis[v] == dis[u] + 1) // 水沝淼㵘题
			{
				f[v] += f[u];
				f[v] %= 100003;
			}
		}
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cout << f[i] << "\n";
	return 0;
}

Floyd

for(int k = 1;k <= n;k++)
{
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if(f[i][j] > f[i][k] + f[k][j])
            {
                f[i][j] = f[i][k] + f[k][j];
            }
        }
    }
}