图论-树上启发式合并(DSU On Tree)

Disjoint Set Union On Tree ，似乎是来自 Codeforces 的一种新操作，似乎被叫做“树上启发式合并”。
在不带修改的有根树子树信息统计问题中，似乎树上莫队和这个 DSU On Tree 是两类常规操作。
先对树按轻重链剖分。对于每个节点，先计算轻儿子为根的子树信息，每次计算后消除影响，再去计算其他轻儿子。然后计算重儿子为根的子树信息，不消除影响，并把轻儿子们为根的子树信息加入，再合并这个节点本身的信息。由于一个大小 \(x\) 的子树被消除影响后，都把信息合并到了一个大于等于 \(2x+1\) 的子树，如此递归下去，它显然至多被消除影响 \(log\ n\) 次。利用轻重链剖分的思想，就把这个问题 \(O(n \cdot log\ n)\) 解决了（假设合并信息是 \(O(1)\) 的）。

一道求子树内众数（记在 ans 里）的题的代码：

#include <stdio.h>
#include <vector>

using namespace std;

const int _N = 160000;

vector<int> G[_N];
int hvs[_N], siz[_N], cnt[_N], A[_N], ans[_N], mx;

void connect(int p, int dad)
{
	siz[p] = 1;
	for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
		int v = G[p][i];
		if (v == dad) continue;
		connect(v, p);
		siz[p] += siz[v];
		if (!hvs[p] || siz[hvs[p]] < siz[v]) hvs[p] = v;
	}
	return;
}

void clear(int p, int dad)
{
	--cnt[A[p]];
	for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
		int v = G[p][i];
		if (v == dad) continue;
		clear(v, p);
	}
	return;
}

void insert(int p, int dad)
{
	mx = max(mx, ++cnt[A[p]]);
	for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
		int v = G[p][i];
		if (v == dad) continue;
		insert(v, p);
	}
	return;
}

void dfs(int p, int dad)
{
	for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
		int v = G[p][i];
		if (v == dad || v == hvs[p]) continue;
		dfs(v, p);
		clear(v, p);
		mx = 0;
	}
	if (hvs[p]) dfs(hvs[p], p);
	for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
		int v = G[p][i];
		if (v == dad || v == hvs[p]) continue;
		insert(v, p);
	}
	ans[p] = mx = max(mx, ++cnt[A[p]]);
	return;
}

int main()
{
	int N;
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		scanf("%d", &A[i]);
	for (int a, b, i = 1 ; i < N; ++i) {
		scanf("%d%d", &a, &b);
		G[a].push_back(b), G[b].push_back(a);
	}
	connect(1, 0);
	dfs(1, 0);
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		printf("%d ", siz[i] - ans[i]);
	return 0;
}

CF 上原博客 [Tutorial] Sack (dsu on tree)
模板题 CF600E 子树众数统计

Update :关于子树信息统计
有的问题不一定需要 dsu 解决。比如对于“求子树内权值大于子树根节点的点的个数”这个问题，问题具有可减性（这是我口胡的），即：子树内贡献 = 统计子树后信息 - 统计子树前的信息 。所以这个问题用权值树状数组维护，将统计前后的答案作差就可以了，不用 dsu 。求众数却不能用前后答案作差解决，因为作差的过程是 \(O(n)\) 的。感性地说，求众数时子树信息是分裂的，而求例子中的问题时，信息直接对答案贡献 +1 （表示有一个点权值大于根节点权值），可以合并或者说累加。