网络流-最小割边数和最小割边集求法
最小割边数：
求法一：
1.求出原网络的最大流.
2.把可能的关键割边（即满流的边）容量置为 1，其余边容量置为 0.
3.求出修改后网络的最大流.
此时的最大流即是最小割时最少的割边数。
总共求了 2 次最大流。
更好的求法二：
以下用 E 表示网络流中的边数.
1.建图时，把每条边的边权 w 置为 w * (E + 1) + 1.
2.求出修改后网络的最大流 flow_max.
此时原图的最大流为 flow_max / (E + 1) ，最少的割边数为 flow_max mod (E + 1). （E + 1 也可以换作一个大于等于它的任意数）
总共只求了 1 次最大流。
最小割边集：
在执行过 SAP 的残量网络上寻找满流的边（满流的边才可能是关键割边），即残量为 0 的边 。从原图，原图，原图中删去这条边，即将正向边残量置为 0，并执行一次 SAP 得到最大流。如果原最大流与此时得到最大流的差正好为该边容量，且此时得到的最小割边数正好比原最小割边数少 1 （求法见上文），则将该边加入最小割边集。重复这个过程，直到残量网络上所有满流边被讨论完毕。
【USACO4.4.2】Pollutant Control追查坏牛奶 就是一道考察这两个知识点的题目， NKOJ1852。
这道题困扰过我一段时间，代码如下：
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 const long long int MAXN = 55000; 7 const long long int MAXM = 50005; 8 const long long int INF = ~0ull >> 1; 9 10 long long int edge, n, m, s, t, ver; 11 long long int maxflow, mincut; 12 long long int v[MAXM], fst[MAXN], nxt[MAXM], tmpedge[MAXM]; 13 long long int dis[MAXN], cnt[500000], c_ori[MAXM], c_tmp[MAXM]; 14 15 inline void insert(long long int x, long long int y, long long int z) 16 { 17 v[++edge] = y; 18 c_ori[edge] = z; 19 c_tmp[edge] = z; 20 nxt[edge] = fst[x]; 21 fst[x] = edge; 22 //prlong long intf("[%d->%d %d] ", x, y, z); 23 return ; 24 } 25 26 long long int SAP(long long int node, long long int flow) 27 { 28 if (node == t) 29 return flow; 30 long long int p, tmp, dlt = 0; 31 for (p = fst[node]; p; p = nxt[p]) { 32 if (c_tmp[p] <= 0 || dis[v[p]] + 1 != dis[node]) 33 continue; 34 tmp = SAP(v[p], min(c_tmp[p], flow - dlt)); 35 c_tmp[p] -= tmp; 36 c_tmp[p + 1] += tmp; 37 if ((dlt += tmp) == flow || dis[s] == ver) 38 return dlt; 39 } 40 if (!--cnt[dis[node]]) 41 dis[s] = ver; 42 ++cnt[++dis[node]]; 43 return dlt; 44 } 45 46 int main() 47 { 48 long long int i, t1, t2, t3, tmpflow, cap, tot; 49 scanf("%I64d%I64d", &n, &m); 50 for (i = 1; i <= m; ++i) { 51 scanf("%I64d%I64d%I64d", &t1, &t2, &t3); 52 insert(t1, t2, t3 * (m + 1) + 1); 53 insert(t2, t1, 0); 54 } 55 s = 1; 56 t = n; 57 ver = n; 58 while (dis[s] < ver) 59 maxflow += SAP(s, INF); 60 mincut = maxflow % (m + 1); 61 maxflow /= (m + 1); 62 printf("%I64d %I64d\n", maxflow, mincut); 63 t1 = m << 1; 64 tot = 0; 65 for (i = 1; i <= t1; i += 2) 66 if (!c_tmp[i]) 67 tmpedge[++tot] = i; 68 for (i = 1; i <= tot && mincut; ++i) { 69 memcpy(c_tmp, c_ori, sizeof c_ori); 70 memset(dis, 0, sizeof dis); 71 memset(cnt, 0, sizeof cnt); 72 cap = c_tmp[tmpedge[i]] / (m + 1); 73 c_tmp[tmpedge[i]] = 0; 74 tmpflow = 0; 75 while (dis[s] < ver) 76 tmpflow += SAP(s, INF); 77 if (maxflow - tmpflow / (m + 1) == cap 78 && tmpflow % (m + 1) + 1 == mincut) { 79 printf("%I64d ", tmpedge[i] + 1 >> 1); 80 81 --mincut; 82 maxflow -= cap; 83 c_ori[tmpedge[i]] = 0; 84 } 85 } 86 return 0; 87 }
