图论－突突突突突 (Mar, 2019)

owo

[BZOJ 3681] Arietta

持久化，每次新建节点，避免影响之前的树。

[AGC 006 F] Blackout

统计每个弱连通分量，三个颜色染色之后把点重新编号，每个点为起点的边都可以用一个数字 \(v\) 表示，意义是按照 \(0,1,2\) 的顺序，边的终点在位置 \(v\) 。这样每个点都对应了一个集合。初始时，集合存在 \(1\) 。如果有 \(x,y\) ，就有 \(f(x,y)=-x-y\) 。其实能够直接推得的东西仅仅是：另外一个点的集合里面有 \(-x-y\)　，不过很多点的集合都相同，大部分情况下，自己的集合也会有这个东西。

以下构造只使用 \(1,-2\) ，这样结论可以适用于更多的点。

\(x \rightarrow f(x,1)=-x-1 \rightarrow f(-x-1,-2)=x+3\) ，所以 \(1+3k\) \((k \ge 0)\) 存在。

\(f(1,1+3k)=-2-3k\) ，所以 \(-2-3k\) \((k \ge 0)\) 存在。整合起来， \(S=\{1+3t| t \in N\}\) 。

因此，如果染色成功，初始集合只有 \(1\) ，答案是 \(cnt_0cnt_1+cnt_1cnt_2+cnt_2cnt_0\) 。不过一分图和二分图的时候，没有集合存在 \(-2\) ，此时什么也构造不出来，需要特判。

如果染色失败，说明存在下面两种情况中的一种，它们可能会使得集合存在更多的元素：

元素 \(0\) 就非常好，因为有 \(0\) 说明每个数都能用来构造它的相反数了，答案就是 \(cnt^2\) 。

第一种： \(2+3t \in S\)

\(t \ge 0\) ， \(f(2+3t,-2)=-3t \rightarrow f(-3t, 1)=3t-1\rightarrow f(3t-1,-2)=-3t+3 \rightarrow \cdots\) ，可以构造 \(0\) 。

\(t <0\) ， \(f(2+3t,1)=-3t-3 \rightarrow \cdots\) 可以构造 \(0\) 。

第二种： \(3t \in S\)

\(t \ge 0\) ， \(f(3t,-2)=-3t+2 \rightarrow f(-3t+2,1)=3t-3 \rightarrow \cdots\) ，可以构造 \(0\) 。

\(t < 0\) ， \(f(3t,1)=-3t-1 \rightarrow f(-3t-1,-2)=3t+3 \rightarrow \cdots\) ，可以构造 \(0\) 。

[ARC 080 F]

类似 LED 那道题的差分，假设已经知道 \(dis\) ，直接费用流不可取，但是的确又需要匹配。

计算 \(dis\) ，背包不行，通过哥德巴赫猜想可以得到（特殊数字 \(1=5+7-11,2=5-3\) ）：

偶数 \(dis\) 是 \(2\) 。

奇数，如果是素数 \(dis\) 就是 \(1\) ，否则是 \(3\) 。

然后匹配，通过分析，贪心选费用 \(1\) 的点对匹配是正确的，最坏情况 \(1+3\le 2+2\) ，仍然是最优的 。

所以先把费用是 \(1\) 的点，奇偶性建图，跑二分图匹配。剩下的偶数和偶数匹配，奇数和奇数匹配，费用 \(2\) 。如果还有剩余，肯定剩一对 \(dis\) 是奇数且是合数，费用 \(3\) 。最坏情况 \(2+3\le 3+3\) ，仍然是最优的。