图论-怅望祁连（小知识点整理）
各种小知识点
Kruskal 重构树
Steiner 树
两道例题：
BZOJ3205 APIO2013 机器人
BZOJ2595 WC2008 游览计划
求 \(N\) 个点的连通无向图中至少包含给定的 \(K\) 个点的最小生成树。
\(S\) 表示连通状态， \(p\) 是当前状态中用来考虑转移的节点，可以理解成暂时的根之类的东西。
第一个转移直接 DP ，第二个转移要求 \(p\) 和 \(q\) 关联，用图论算法转移。它的正确性好像来自什么三角形不等式，不懂，不过确实可以感性理解。
注意 SPFA 可以加个 Small Label First 优化，开两个队列，每次取最小的来扩展，特殊情况下就是个 BFS 。
给自己留一份伪代码：
void spfa(int s)
{
sort(Que_A);
...
while () {
p = min(Que_A.head, Que_B.head);
for (...) {
if (F[s][y] > F[s][x] + w) {
...
Que_B.push();
}
}
}
return;
}
void steiner()
{
for (int s = 0; s != (1 << K); ++s) {
for (int t = (s - 1) & 1; t; t = (t - 1) & 1) {
for (int p = 1; p <= N; ++p)
F[s][p] = min(F[s][p], F[t][p] + F[s ^ t][p]);
}
for (int p = 1; p <= N; ++p)
if (F[s][p] < INF)
Que_A[++Q_cnt] = data(p, F[s][p]);
spfa(s);
}
int ans = INF;
for (int i = 1; i <= N; ++i)
ans = min(ans, F[(1 << K) - 1][i]);
return;
}
虚树
树很大，需要考虑的点很少，弄一颗虚树。树上路径求交的方法是把点集按 dfn 排序，然后相邻两个点找 lca 记录路径，这些路径是无公共边的。虚数也是先排序，然后用栈维护 dfn 递增的一条从根到当前讨论的点的链，最后在栈底的就是虚数的根。
void ins_node(int p)
{
if (Top <= 1) {
S[++Top] = p;
return;
}
int lca = get_lca(p, S[Top]);
if (lca == S[top]) {
S[++Top] = p;
return;
}
while (Top > 1 && Dfn[lca] <= Dfn[S[Top - 1]])
ins_edge(S[Top - 1], S[Top]), --Top;
if (lca != S[Top])
ins_edge(lca, S[Top]), S[top] = lca;
S[++Top] = p;
return;
}
仙人掌 & 圆方树
仙人掌定义：一条边属于至多一个简单环。
桥边定义：非环边。
环边定义：非桥边。
首先，这个东西是处理无向图的。普通的圆方树只能处理仙人掌图，只对每个环建立方点，再向环上的点连边，其他点是圆点；广义的圆方树就是圆点和方点交替出现，对于桥边，强行在中间塞一个方点，然后还是对点双建立方点。
普通圆方树，一般套路是桥边直接转移，环上单独 DP ：
void process_circle(int x, int y)
{
for (int i = Dad[y]; i != x; i = Dad[i])
...F[i]...
...F[x]...
return;
}
void dfs(int p, int d)
{
Dad[p] = d;
for (...) {
if (!Dfn[t])
...
else
...
if (Low[t] > Dfn[p])
F[p] = ...F[t]...
}
for (int i = Fst[p]; i; i = Nxt[i]) {
if (Dad[t] != p && Dfn[t] > Dfn[p])
process_circle(p, t);
}
return;
}
广义圆方树：
void dfs(int p)
{
for (...) {// 遍历 p 能到达的点 t
if (!Dfn[t]) {
...
if (Low[t] >= Dfn[p]) {
ins_edge(p, ++Tot);// p 到方点
int tmp;
do
tmp = S[S_top--], ins_edge(tmp, Tot);// 方点到环上其他点
while (tmp != t);// 注意 p 可能属于多个点双，所以弹栈到 t 为止
}
} else {
...
}
}
return;
}
2-sat
边都是单向的，表示一种同类关系限制，即选了 a 就一定要选 b ，或者说 a 和 b 有相同的取值$。
注意不要让一些合法点的 Belong[i] == 0 ，全部都 dfs 一遍比较好。 Belong[i] == 0 会导致一些神奇的 Belong[i] == Belong[i'] 的情况，尽管此时实际上并没有产生矛盾。
输出任意方案时，对于对称图，可以根据反边边拓扑排序，然后每次讨论 \(i\) 时，如果值为 0 就把 \(i\) 标记为 1 ，对应点 \(i'\) 标记为 -1 ，如果值不为 0 就 continue 。可以证明，一组对应变量里选 SCC 编号较小者就是一组合理方案，考虑 Tarjan 搜索树 ++SCC 的操作即可。据说非对称图选 SCC 编号较小者也是正确的，而且此时前面拓扑排序的方法是错误的。所以好像选 SCC 编号较小者这种方法完全踩爆前一种方法？
