矩阵快速幂小结-Hdu2604

 

　　矩阵快速幂可以想象为线性代数的矩阵相乘，主要是运用于高效的计算矩阵高次方。

　　将矩阵两两分组，若要求a^n，即知道a^(n/2)次方即可，矩阵快速幂便是运用的这个思路。

　　比方想求(A)^7那么(A)^6=(A*A)*(A*A)*(A*A)，我们知道A*A此时再算三次便可得到答案，比起原先的计算已经简便了很多。

　　矩阵快速幂的主要思路是找到关键的那个矩阵，并把它构建出来，此时思路就基本差不多了。

　　举例：Hdu2604

　　　　题意：f和m两种字母组成字符串，fmf 和 fff 这种为不安全的字符串，现在有2*L个字母，问你有多少安全的字符串。答案mod M。

　　　　我们将0， 1， 2， 3， 4， 5的答案算出来我们便可以得到一个公式f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4)，此时我们要做的便是构建那个矩阵，如何构建呢。

我们可以得到这样的一个矩阵。

　

int n, modd;
int a[4], f[4];

struct Matrix{
    ll mat[4][4];
    Matrix operator*(const Matrix& m)const{
        Matrix tmp;
        for (int i=0; i <4; i++) {
            for (int j=0; j<4; j++) {
                tmp.mat[i][j]=0;
                for (int k=0; k<4; k++) {
                    tmp.mat[i][j] += mat[i][k]*m.mat[k][j]%modd;
                    tmp.mat[i][j]%=modd;
                }
            }
        }
        return tmp;
    }
};
ll Pow(Matrix &m, int k) {
    Matrix ans;
    memset(ans.mat, 0, sizeof(ans.mat));
    for (int i = 0; i < 4; i++)  ans.mat[i][i]=1;
    while(k) {
        if (k&1)  ans=ans*m;
        k>>=1;
        m=m*m;
    }
    ll sum=0;
    for (int i = 0; i < 4; i++)  {
        sum += ans.mat[0][i]*f[3-i]%modd;
        sum%=modd;
    }
    return sum%modd;
}
void solve() {
    Matrix m;
    f[0]=1, f[1]=2, f[2]=4, f[3]=6;
    while(scanf("%d%d", &n, &modd)!=EOF) {
        if (n<4)  printf("%d\n", f[n]%modd);
        else {
            memset(m.mat, 0, sizeof(m.mat));
            m.mat[0][0]=m.mat[0][2]=m.mat[0][3]=1;
            m.mat[1][0]=m.mat[2][1]=m.mat[3][2]=1;
            printf("%d\n", Pow(m, n-3)%modd);
        }
    }
}